Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 9

2 pkt

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równa

2

, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

3

. Oblicz iloraz ciągu

(a_{n})

.

W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności, części dziesiętnych i setnych otrzymanego wyniku.

q = \frac{1}{7}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równa $2$ , więc korzystamy ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego.
$\frac{a _{1}}{1 - q} = 2$

Zadanie 6 Ciągi

3 pkt

Pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równy

2

. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek

a_{n} = 3 \cdot a_{n + 1} + n^{2}

. Oblicz sumę

a_{1} + a_{2} + a_{3}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

5 pkt

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

spełniona jest równość

a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{21}{4}

.
Wyrazy

a_{1}

,

a_{2}

,

a_{3}

są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz

a_{1}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Ciągi

1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, określony dla

n \geq 1

, w którym są dane:

a_{1} = 2

i

a_{2} = 9

. Wtedy

a_{n} = 79

dla

Zadanie 12 Ciągi

1 pkt

Na kartce w kratkę Tomek narysował według pewnej reguły cztery łamane (patrz rysunek).

Długości tych łamanych zapisał w tabeli.

Numer łamanej	I	II	III	IV
Długość łamanej	$3$	$8$	$15$	$24$

Kolejne łamane – od numeru V – Tomek rysował zgodnie z tą samą regułą.

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Łamana o długości

48

ma numer ……. (A lub B).

Łamana o numerze VIII ma długość ……. (C lub D).

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 12 Ciągi

1 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich:

(81, 3 x, 4)

. Stąd wynika, że

Zadanie 13 Ciągi

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

a_{4} = 2020

. Suma

a_{2} + a_{6}

jest równa

Zadanie 14 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2}

dla

n \geq 1

. Różnica

a_{5} - a_{4}

jest równa

Zadanie 14 Ciągi

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

oraz

a_{2} = 6

i

a_{5} = - 48

. Wynika stąd, że

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla

n \geq 1

, czwarty wyraz jest równy

3

, a różnica tego ciągu jest równa

5

. Suma

a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}

jest równa

Zadanie 18 Ciągi

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, są dane dwa wyrazy:

a_{1} = 2

i

a_{2} = 5

. Stąd wynika, że

n

-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

Zadanie 27 Ciągi

2 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg

(x + 2, 4 x + 2, x + 11)

. Oblicz wszystkie wartości

x

, dla których ten ciąg jest geometryczny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Ciągi

2 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg

(x + 2, 4 x + 2, x + 11)

. Oblicz te wszystkie wartości

x

, dla których ten ciąg jest geometryczny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Ciągi

2 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, określony dla

n \geq 1

, w którym spełniona jest równość

a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = 100

. Oblicz sumę

a_{25} + a_{26}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Ciągi

4 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek

6 a_{1} - 5 a_{2} + a_{3} = 0

. Oblicz iloraz

q

tego ciągu należący do przedziału

⟨ 22, 32 ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki