Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 6

3 pkt

Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny

A B C D

, w którym

∣ A D ∣ = ∣ B C ∣ = 13

cm. Wysokość

D E

oraz krótsza podstawa

C D

mają długość po

12

cm.

Oblicz pole trapezu

A B C D

. Zapisz obliczenia.

P = 204 cm^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Trójkąt $A E D$ jest prostokątny, więc długość odcinka $A E$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa. Przeciwprostokątna to $∣ A D ∣ = 13$ cm, a jedna z przyprostokątnych to wysokość $∣ D E ∣ = 12$ cm.
$∣ A E ∣^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2} ∣ A E ∣^{2} = 169 - 144 = 25 ∣ A E ∣ = 5 cm$

Zadanie 19 Planimetria

4 pkt

W trapezie prostokątnym

A B C D

dłuższa podstawa

A B

ma długość

7, 5

.
Krótsza przekątna

A C

ma długość równą

6

i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Oblicz pole trapezu

A B C D

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 19 Planimetria

1 pkt

Punkty

K

,

L

oraz

M

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

. Miara kąta

K S M

jest równa

160°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wpisanego

K L M

jest równa

Zadanie 20 Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt

K L M

, w którym

∣ K M ∣ = a

,

∣ L M ∣ = b

oraz

a \neq = b

. Dwusieczna kąta

K M L

przecina bok

K L

w punkcie

N

takim, że

∣ K N ∣ = c

,

∣ N L ∣ = d

oraz

∣ M N ∣ = e

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie

K L M

prawdziwa jest równość

Zadanie 20 Planimetria

2 pkt

Podstawy trapezu prostokątnego

A B C D

mają długości:

∣ A B ∣ = 12

oraz

∣ C D ∣ = 6

. Wysokość

A D

tego trapezu ma długość

24

. Na odcinku

A D

leży punkt

E

taki, że

∣∠ B E A ∣ = ∣∠ C E D ∣

(zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka

BE

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 20 Planimetria

1 pkt

Dany jest okrąg o środku w punkcie

S

i promieniu

6

.
Miara kąta wpisanego

A C B

jest równa

60°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość łuku

A B

, na którym oparty jest kąt wpisany

A C B

, jest równa

Zadanie 21 Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 5

,

∣ A C ∣ = 2

oraz

sin ∣ ∢ B A C ∣ = \frac{3}{5}

.

Pole trójkąta

A B C

jest równe

Zadanie 21 Planimetria

1 pkt

Punkty

A

,

B

oraz

C

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

. Długość łuku

A B

, na którym jest oparty kąt wpisany

A C B

, jest równa

\frac{1}{5}

długości okręgu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego

A C B

jest równa

Zadanie 21 Planimetria

1 pkt

Dany jest równoległobok o bokach długości

3

i

4

oraz o kącie między nimi o mierze

120°

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego równoległoboku jest równe

Zadanie 22 Planimetria

2 pkt

Bok kwadratu

A B C D

ma długość równą

12

. Punkt

S

jest środkiem boku

B C

tego kwadratu. Na odcinku

A S

leży punkt

P

taki, że odcinek

B P

jest prostopadły do odcinka

A S

.

Oblicz długość odcinka

B P

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 22 Planimetria

1 pkt

W trójkącie

A B C

, wpisanym w okrąg o środku w punkcie

S

, kąt

A C B

ma miarę

42°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego

B A S

jest równa

Zadanie 22 Planimetria

1 pkt

W trójkącie

M K C

bok

M K

ma długość

24

. Prosta równoległa do boku

M K

przecina boki

M C

i

K C

odpowiednio w punktach

A

oraz

B

takich, że

∣ A B ∣ = 6

i

∣ A C ∣ = 3

(zobacz rysunek).

Długość odcinka

M A

jest równa

Zadanie 3 Planimetria

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

,

D

,

E

leżą na okręgu o środku

S

. Miara kąta

B C D

jest równa

110°

, a miara kąta

B D A

jest równa

35°

(zobacz rysunek).

Wtedy kąt

D E A

ma miarę równą

Zadanie 5 Planimetria

3 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣∠ A B C ∣ = 90°

oraz

∣∠ C A B ∣ = 60°

. Punkty

K

i

L

leżą na bokach – odpowiednio –

A B

i

B C

tak, że

∣ B K ∣ = ∣ B L ∣ = 1

(zobacz rysunek). Odcinek

K L

przecina wysokość

B D

tego trójkąta w punkcie

N

, a ponadto

∣ A D ∣ = 2

.

Wykaż, że

∣ N D ∣ = 3 + 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Planimetria

3 pkt

Dany jest okrąg

O

. Przez punkt

A

poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

P

oraz

Q

. Przez punkt

B

leżący na odcinku

A P

poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie

D

, która przecięła odcinek

A Q

w punkcie

C

(zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli

∣ A Q ∣ = 5 \cdot ∣ B P ∣

oraz

∣ C D ∣ = 2 \cdot ∣ B D ∣

, to trójkąt

A B C

jest równoramienny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki