Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają… - Matura podstawowa sierpień 2024, zadanie 20, rozwiązanie

Zadanie 20 - Matura podstawowa 2024 (sierpień) - Rozwiązanie

2 pkt

Podstawy trapezu prostokątnego

A B C D

mają długości:

∣ A B ∣ = 12

oraz

∣ C D ∣ = 6

. Wysokość

A D

tego trapezu ma długość

24

. Na odcinku

A D

leży punkt

E

taki, że

∣∠ B E A ∣ = ∣∠ C E D ∣

(zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka

BE

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ B E ∣ = 20

Trójkąty $A B E$ oraz $D C E$ są podobne (cecha kąt–kąt–kąt): oba mają kąt prosty (przy wierzchołkach $A$ i $D$ trapezu prostokątnego) oraz równe kąty przy wierzchołku $E$ (dane w treści: $∣∠ B E A ∣ = ∣∠ C E D ∣$ ). Skala podobieństwa:
$k = \frac{∣ A B ∣}{∣ D C ∣} = \frac{12}{6} = 2$
Stąd $∣ A E ∣ = 2∣ D E ∣$ . Odcinki $A E$ i $D E$ razem tworzą wysokość $A D$ :
$∣ A E ∣ + ∣ D E ∣ = 24 2∣ D E ∣ + ∣ D E ∣ = 24 ∣ D E ∣ = 8$
Obliczamy $∣ A E ∣$ :
$∣ A E ∣ = 2∣ D E ∣ = 2 \cdot 8 = 16$
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $A B E$ (kąt prosty przy wierzchołku $A$ ):
$∣ B E ∣^{2} ∣ B E ∣^{2} ∣ B E ∣ = ∣ A B ∣^{2} + ∣ A E ∣^{2} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 400 = 20$

Zadanie 20 - Matura podstawowa 2024 (sierpień) - Rozwiązanie