Zadanie 20, matura podstawowa sierpień 2024

2 pkt

Podstawy trapezu prostokątnego

A B C D

mają długości:

∣ A B ∣ = 12

oraz

∣ C D ∣ = 6

. Wysokość

A D

tego trapezu ma długość

24

. Na odcinku

A D

leży punkt

E

taki, że

∣∠ B E A ∣ = ∣∠ C E D ∣

(zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka

BE

. Zapisz obliczenia.

∣ B E ∣ = 20

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Trójkąty $A B E$ i $D C E$ mają kąty proste przy $A$ i $D$ oraz równe kąty przy $E$ , więc są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Skala podobieństwa to stosunek odpowiadających sobie przyprostokątnych.
$k = \frac{∣ A B ∣}{∣ D C ∣} = \frac{12}{6} = 2$
2
Wszystkie boki trójkąta $A B E$ są dwa razy dłuższe od odpowiednich boków trójkąta $D C E$ , więc $∣ A E ∣ = 2∣ D E ∣$ . Odcinki $A E$ i $D E$ tworzą razem wysokość $A D$ .
$∣ A E ∣ + ∣ D E ∣ = 24 2∣ D E ∣ + ∣ D E ∣ = 24 3∣ D E ∣ = 24 ∣ D E ∣ = 8 ∣ A E ∣ = 2∣ D E ∣ = 2 \cdot 8 = 16$
3
Trójkąt $A B E$ ma kąt prosty przy $A$ , więc $∣ B E ∣$ liczymy z twierdzenia Pitagorasa.
$∣ B E ∣^{2} = ∣ A B ∣^{2} + ∣ A E ∣^{2} ∣ B E ∣^{2} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 144 + 256 = 400 ∣ B E ∣ = 20$

Podobne zadania z działu planimetria