Zbiór zadań

Znaleziono 56 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$:
   $${\left(2\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)}^2={\left(2\sqrt{10}\right)}^2+2\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$$
2. Obliczamy poszczególne składniki:
   $$\begin{array}{rl}& {\left(2\sqrt{10}\right)}^2=4\cdot 10=40\\ & 2\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{20}=4\cdot 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}\\ & {\left(\sqrt{2}\right)}^2=2\end{array}$$
3. Sumujemy wszystkie składniki:
   $$40+8\sqrt{5}+2=42+8\sqrt{5}$$

1. Aby porównać $4$ z $2\sqrt{3}$ i $3\sqrt{2}$, podnosimy obie strony do kwadratu (obie liczby są dodatnie, więc kolejność się zachowuje):
   $$\begin{array}{rl}& 4^2=16,(2\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12\\ & 4^2=16,(3\sqrt{2}{)}^2=9\cdot 2=18\end{array}$$
2. Skoro $16>12$, to $4>2\sqrt{3}$, czyli liczba $4$ nie jest mniejsza od $2\sqrt{3}$. Skoro $16<18$, to $4<3\sqrt{2}$, więc poprawna jest odpowiedź B.
3. Aby porównać $4$ z $\sqrt{2}+2$, odejmujemy $2$ od obu stron, a potem podnosimy do kwadratu:
   $$4-2=2,2^2=4,(\sqrt{2}{)}^2=2$$
4. Skoro $4>2$, to $2>\sqrt{2}$, czyli $4>\sqrt{2}+2$, a zatem liczba $4$ jest większa od $\sqrt{2}+2$ (odpowiedź C).
5. Aby porównać $4$ z $6-\sqrt{3}$, przekształcamy nierówność $4>6-\sqrt{3}$ do postaci $\sqrt{3}>2$ i sprawdzamy kwadraty:
6. Skoro $3<4$, to $\sqrt{3}<2$, więc nierówność $4>6-\sqrt{3}$ jest fałszywa, czyli liczba $4$ nie jest większa od $6-\sqrt{3}$. Poprawne odpowiedzi to B i C.

1. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Zapisujemy $9$ jako potęgę liczby $3$, a następnie mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki.
   $$3\cdot 9^5=3^1\cdot (3^2{)}^5=3^1\cdot 3^{10}=3^{11}$$
2. Otrzymany wynik jest równy $3^{11}$ z treści zdania, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
3. Sprawdzamy drugie zdanie. W liczniku mnożymy potęgi o tej samej podstawie, a potem dzielimy przez potęgę w mianowniku, odejmując wykładniki.
   $$\frac{2^8\cdot 2^7}{2^{10}}=\frac{2^{15}}{2^{10}}=2^5$$
4. Otrzymany wynik jest równy $2^5$ z treści zdania, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Liczbę mieszaną pod pierwiastkiem zamieniamy na ułamek niewłaściwy:
   $$6\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$
2. Obliczamy pierwiastek kwadratowy:
   $$\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$$
3. To odpowiada literze A.
4. Szukamy liczby, która podniesiona do trzeciej potęgi daje $0,064$:
   $$0,4^3=0,4\cdot 0,4\cdot 0,4=0,064$$
5. Zatem $\sqrt[3]{0,064}=0,4$ (odpowiedź C).

1. Dodajemy wykładniki potęg o tej samej podstawie (mnożenie potęg):
   $$3^{-2,4}\cdot 3^{\frac{2}{5}}=3^{-2,4+0,4}=3^{-2}$$
2. Podnosimy potęgę do potęgi (mnożymy wykładniki):
   $${\left(3^{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}=3^{-2\cdot \frac{1}{2}}=3^{-1}$$
3. Zamieniamy potęgę o wykładniku ujemnym na ułamek:
   $$3^{-1}=\frac{1}{3}$$

1. Rozkładamy liczby pod pierwiastkami tak, aby wyciągnąć czynnik będący kwadratem liczby całkowitej:
   $$\begin{gathered} \sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5} \\ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5} \end{gathered}$$
2. Podstawiamy i redukujemy wyrazy podobne:
   $$3\sqrt{45}-\sqrt{20}=3\cdot 3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=9\sqrt{5}-2\sqrt{5}=7\sqrt{5}$$
3. Zapisujemy pierwiastek jako potęgę o wykładniku $\frac{1}{2}$:
   $$7\sqrt{5}=7\cdot 5^{\frac{1}{2}}$$

1. Korzystamy z własności pierwiastków sześciennych $\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$ i łączymy oba czynniki pod jednym pierwiastkiem:
   $$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot 2}$$
2. Mnożymy pod pierwiastkiem, skracając $16$ i $2$:
   $$\sqrt[3]{-\frac{27}{{\bcancel{16}}_8}\cdot \bcancel{2}}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$$
3. Obliczamy pierwiastek sześcienny licznika i mianownika:
   $$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$$

1. Zapisujemy każdy pierwiastek jako potęgę o wykładniku wymiernym:
   $$\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}}$$
2. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $6$:
   $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$$
3. Zatem iloczyn jest równy:
   $$x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=x^1=x$$

1. Obliczamy pierwszą liczbę hasła, czyli sześcian liczby $4$.
   $$4^3=64$$
2. Rozkładamy mianowniki na czynniki pierwsze, aby znaleźć najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\frac{1}{15}$ i $\frac{1}{25}$.
   $$\begin{array}{rl}& 15=3\cdot 5\\ & 25=5^2\end{array}$$
3. Najmniejszy wspólny mianownik zawiera każdy czynnik pierwszy w najwyższej występującej potędze.
   $$3\cdot 5^2=75$$
4. Hasło do pliku to $64T75$ (odpowiedź D).

1. Obliczamy pierwiastki w pierwszym wyrażeniu.
   $$\sqrt{81}-\sqrt{49}=9-7=2$$
2. Wyrażenie $\sqrt{81}-\sqrt{49}$ jest równe $2$ (odpowiedź A).
3. Obliczamy pierwiastki w drugim wyrażeniu.
   $$\sqrt{144}+\sqrt{25}=12+5=17$$
4. Wyrażenie $\sqrt{144}+\sqrt{25}$ jest równe $17$ (odpowiedź D).

1. Obliczamy ${\left(-\frac{1}{9}\right)}^{-2}$. Podniesienie do potęgi ujemnej to odwrotność podniesienia do potęgi dodatniej:
   $${\left(-\frac{1}{9}\right)}^{-2}=(-9{)}^2=81$$
2. Obliczamy $3^{-1}$:
   $$3^{-1}=\frac{1}{3}$$
3. Podstawiamy do wyrażenia. Mianownik $81$ skraca się z mnożnikiem $81$:
   $$\frac{3^{-1}}{81}\cdot 81=3^{-1}=\frac{1}{3}$$

1. Sprawdzamy pierwsze zdanie - podnosimy potęgę do potęgi, mnożąc wykładniki:
   $$(4^4{)}^3=4^{4\cdot 3}=4^{12}$$
2. $4^{12}$ jest różne od $4^7$ - pierwsze zdanie jest fałszywe (F).
3. Sprawdzamy drugie zdanie - przekształcamy wyrażenie $5^6\cdot 2^3$, rozbijając $5^6$ na iloczyn potęg:
   $$5^6\cdot 2^3=5^3\cdot 5^3\cdot 2^3=5^3\cdot (5\cdot 2{)}^3=5^3\cdot 10^3$$
4. Wyrażenia $5^3\cdot 10^3$ oraz $5^6\cdot 2^3$ są równe - drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Zauważamy, że $\sqrt{3}-2$ jest liczbą przeciwną do $2-\sqrt{3}$, a podniesienie liczby przeciwnej do kwadratu daje ten sam wynik:
   $$(\sqrt{3}-2{)}^2={\left(-(2-\sqrt{3})\right)}^2=(2-\sqrt{3}{)}^2$$
2. Podstawiamy do wyrażenia. Oba składniki są sobie równe, więc ich różnica wynosi:
   $$(2-\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}-2{)}^2=(2-\sqrt{3}{)}^2-(2-\sqrt{3}{)}^2=0$$

1. Iloraz potęg o tym samym wykładniku zapisujemy jako potęgę ilorazu podstaw:
   $$\frac{10^8}{5^8}={\left(\frac{10}{5}\right)}^8=2^8$$
2. Iloraz jest więc równy $2^8$ – to odpowiedź B.
3. Liczbę $25$ zapisujemy jako potęgę liczby $5$, a następnie korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi i mnożenie potęg o tej samej podstawie:
   $$\begin{array}{rl}& 2^6\cdot 25^3=2^6\cdot (5^2{)}^3=2^6\cdot 5^6\\ & 2^6\cdot 5^6=(2\cdot 5{)}^6=10^6\end{array}$$
4. Iloczyn jest więc równy $10^6$ – to odpowiedź D. Odpowiedzi: B, D.