Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki

4 pkt

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

A B C S

podstawa

A B C

jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie

A B C

jest równa

62 π

, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi

S B

i

S C

jest równy

\frac{5}{9}

.

Oblicz długość krawędzi podstawy

A B C

oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi

S A C

i

S B C

tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

a = 36

,

cos β = \frac{5}{14}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wprowadzamy oznaczenia:
- $a$ - długość krawędzi podstawy
- $α$ - kąt $B S C$ , $cos α = \frac{5}{9}$
- $D$ - wspólny spodek wysokości ścian $B C S$ i $A C S$ poprowadzonych z wierzchołków $B$ i $A$ na krawędź $S C$
- $x$ - długość tych wysokości
- $β$ - kąt $A D B$ , czyli kąt między ścianami $S A C$ i $S B C$

Zadanie 12 Geometria przestrzenna

5 pkt

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

ma objętość równą

363

. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną

γ

, która:

• jest prostopadła do ściany bocznej

C D S

ostrosłupa
• przechodzi przez środek

K

krawędzi

A D

oraz środek

L

krawędzi

B C

• przecina krawędź boczną

C S

w punkcie

M

oraz krawędź boczną

D S

w punkcie

N

• tworzy z płaszczyzną podstawy

A B C D

kąt o mierze

30°

.

Przekrój

K L M N

wyznaczony przez płaszczyznę

γ

jest trapezem równoramiennym.

Oblicz pole trapezu

K L M N

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest kwadrat

A B C D

. Krawędź boczna

S A

jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość

334

. Cosinus kąta

β

między ścianami bocznymi

C D S

i

B C S

tego ostrosłupa jest równy

(- \frac{9}{25})

.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny

A B C D

o podstawie

A B C

. Płaszczyzna zawierająca krawędź

A B

podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej

C D

przecina tę krawędź w punkcie

E

, przy czym

\frac{∣ C E ∣}{∣ D E ∣} = \frac{3}{11}

.

Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy

A B C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

Wykaż, że objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.

Wykaż, że objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest kwadrat

A B C D

. Krawędź boczna

S A

jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość

334

. Cosinus kąta

β

między ścianami bocznymi

C D S

i

B C S

tego ostrosłupa jest równy

(- \frac{9}{25})

.
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.
a) Wykaż, że objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Geometria przestrzenna

3 pkt

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy

123

.
Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe

12 π (3 + 1)

.

Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

4 pkt

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa

a

. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy

\frac{11}{6}

.

Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

3456

, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż

83

.

Wykaż, że pole

P

powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości

H

ostrosłupa oraz promienia

R

okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa

6

.

Wykaż, że objętość

V

każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości

R

promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

V (R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Geometria przestrzenna

4 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

o krawędzi długości

6

. Punkt

S

jest punktem przecięcia przekątnych

A H

i

D E

ściany bocznej

A D H E

(zobacz rysunek).

Oblicz wysokość trójkąta

S B H

poprowadzoną z punktu

S

na bok

B H

tego trójkąta.
Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

6 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

i polu powierzchni bocznej równym

P

. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka

S

ma miarę

2 α

.
Objętość tego ostrosłupa jest równa

k \cdot P^{3} \cdot sin α \cdot cos (2 α)

, gdzie

k

jest stałym współczynnikiem liczbowym.

Oblicz współczynnik

k

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość

a

. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze

α

takim, że

cos α = \frac{10}{10}

. Przez krawędź

B C

podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę

π

prostopadłą do ściany bocznej

S A D

.

Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę

π

i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki