Zbiór zadań

Znaleziono 22 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Wyłączamy $x$ przed nawias:
   $$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)$$
2. Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie to kwadrat różnicy:
   $$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$$
3. Zatem:
   $$x^3-2x^2+x=x(x-1{)}^2$$

1. Zauważmy, że wyrażenie jest kwadratem sumy:
   $$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$$
2. Podstawiamy $x=\sqrt{2}-5$:
   $$(\sqrt{2}-5+5{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$$

1. Obliczamy iloczyn $V(x)\cdot H(x)$:
   $$V(x)\cdot H(x)=(x^3+1)(x-2)=x^4-2x^3+x-2$$
2. Odejmujemy od $W(x)$:
   $$W(x)-V(x)\cdot H(x)=x^4-(x^4-2x^3+x-2)$$
3. Upraszczamy:
   $$x^4-x^4+2x^3-x+2=2x^3-x+2$$

1. Licznik pierwszego ułamka to wzór skróconego mnożenia:
   $$x^2+20x+100=(x+10{)}^2$$
2. Podstawiamy i mnożymy ułamki:
   $$\frac{(x+10{)}^2}{x^3}\cdot \frac{x^2}{x+10}=\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}$$
3. Skracamy czynnik $(x+10)$ oraz $x^2$:
   $$\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}=\frac{x+10}{x}$$

1. Liczymy pierwszy nawias:
   $$(3x+2{)}^2=9x^2+12x+4$$
2. Liczymy drugi nawias:
   $$(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$$
3. Odejmujemy wyrażenia:
   $$(9x^2+12x+4)-(4x^2-12x+9)=5x^2+24x-5$$

1. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ dla $a=3x+y$, $b=3x-y$:
   $$(3x+y{)}^2-(3x-y{)}^2=\left[(3x+y)+(3x-y)\right]\cdot \left[(3x+y)-(3x-y)\right]$$
2. Upraszczamy nawiasy i mnożymy:
   $$\begin{array}{rl}& =6x\cdot 2y\\ & =12xy\end{array}$$

1. Rozkładamy licznik i mianownik pierwszego ułamka na czynniki:
   $$x^2+x=x(x+1),x^2+4x+4=(x+2{)}^2$$
2. Podstawiamy i zapisujemy iloczyn ułamków:
   $$\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}$$
3. Skracamy $x$ w licznikach i mianownikach oraz jeden czynnik $(x+2)$:
   $$\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ dla $x=2a+b$ i $y=2a-b$:
   $$(2a+b{)}^2-(2a-b{)}^2=\left[(2a+b)-(2a-b)\right]\cdot \left[(2a+b)+(2a-b)\right]$$
2. Upraszczamy oba nawiasy:
   $$\begin{array}{rl}& (2a+b)-(2a-b)=2b\\ & (2a+b)+(2a-b)=4a\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$2b\cdot 4a=8ab$$

1. Dzielenie ułamków zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
   $$\frac{x}{x^2-1}:\frac{3x^2}{x+1}=\frac{x}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{3x^2}$$
2. Rozkładamy mianownik $x^2-1$ na czynniki (wzór skróconego mnożenia):
   $$\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{3x^2}$$
3. Skracamy czynnik $(x+1)$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{x\cdot \bcancel{(x+1)}}{(x-1)\cdot \bcancel{(x+1)}\cdot 3x^2}=\frac{x}{3x^2(x-1)}$$
4. Zapisujemy $3x^2$ jako $3x\cdot x$ i skracamy $x$ w liczniku z jednym $x$ w mianowniku:
   $$\frac{\bcancel{x}}{3x\cdot \bcancel{x}\cdot (x-1)}=\frac{1}{3x(x-1)}$$
5. Mnożymy w mianowniku:
   $$\frac{1}{3x(x-1)}=\frac{1}{3x^2-3x}$$

1. Mnożymy ułamki, zapisując wynik jako jeden ułamek:
   $$\frac{2x^2}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{x}=\frac{2x^2(x+1)}{(x^2-1)x}$$
2. Rozkładamy mianownik $x^2-1=(x-1)(x+1)$ i skracamy czynniki $(x+1)$ oraz $x$ (możemy to zrobić, bo $x\ne -1$ i $x\ne 0$):

1. Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie – mnożymy wielomiany $F$ i $G$:
   $$F(x)\cdot G(x)=3x\left(x^2+2x+3\right)=3x^3+6x^2+9x=W(x)$$
2. Iloczyn $F(x)\cdot G(x)$ jest równy $W(x)$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Sprawdzamy drugie stwierdzenie – obliczamy wartość wielomianu $W$ dla $x=-1$:
   $$W(-1)=3\cdot (-1{)}^3+6\cdot (-1{)}^2+9\cdot (-1)=-3+6-9=-6$$
4. Ponieważ $W(-1)=-6\ne 0$, liczba $(-1)$ nie jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$ – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Suma współczynników wielomianu $a+b+c+d$ to wartość tego wielomianu dla $x=1$, czyli $W(1)$. Ponieważ $W(x)=F(x)\cdot G(x)$, to $W(1)=F(1)\cdot G(1)$.
2. Obliczamy wartości $F(1)$ i $G(1)$:
   $$F(1)=(2-3\cdot 1{)}^2=(-1{)}^2=1,G(1)=3\cdot 1-2=1$$
3. Mnożymy otrzymane wartości:
   $$W(1)=F(1)\cdot G(1)=1\cdot 1=1$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, gdzie $x=2a-3$, $y=2a+3$:
   $$(2a-3{)}^2-(2a+3{)}^2=\left[(2a-3)-(2a+3)\right]\cdot \left[(2a-3)+(2a+3)\right]$$
2. Upraszczamy oba nawiasy:
   $$(2a-3)-(2a+3)=-6,(2a-3)+(2a+3)=4a$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$-6\cdot 4a=-24a$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ dla $a=1+\sqrt{5}$ i $b=1-\sqrt{5}$:
   $$\begin{array}{rl}& {\left(1+\sqrt{5}\right)}^2-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2=\\ & =\left[(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})\right]\cdot \left[(1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})\right]\end{array}$$
2. Upraszczamy każdy z nawiasów:
   $$\begin{array}{rl}& (1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})=2\sqrt{5}\\ & (1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})=2\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$2\sqrt{5}\cdot 2=4\sqrt{5}$$