Zbiór zadań

Znaleziono 16 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Wyłączamy $x$ przed nawias:
   $$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)$$
2. Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie to kwadrat różnicy:
   $$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$$
3. Zatem:
   $$x^3-2x^2+x=x(x-1{)}^2$$

1. Zauważmy, że wyrażenie jest kwadratem sumy:
   $$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$$
2. Podstawiamy $x=\sqrt{2}-5$:
   $$(\sqrt{2}-5+5{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$$

1. Obliczamy iloczyn $V(x)\cdot H(x)$:
   $$V(x)\cdot H(x)=(x^3+1)(x-2)=x^4-2x^3+x-2$$
2. Odejmujemy od $W(x)$:
   $$W(x)-V(x)\cdot H(x)=x^4-(x^4-2x^3+x-2)$$
3. Upraszczamy:
   $$x^4-x^4+2x^3-x+2=2x^3-x+2$$

1. Licznik pierwszego ułamka to wzór skróconego mnożenia:
   $$x^2+20x+100=(x+10{)}^2$$
2. Podstawiamy i mnożymy ułamki:
   $$\frac{(x+10{)}^2}{x^3}\cdot \frac{x^2}{x+10}=\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}$$
3. Skracamy czynnik $(x+10)$ oraz $x^2$:
   $$\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}=\frac{x+10}{x}$$

1. Liczymy pierwszy nawias:
   $$(3x+2{)}^2=9x^2+12x+4$$
2. Liczymy drugi nawias:
   $$(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$$
3. Odejmujemy wyrażenia:
   $$(9x^2+12x+4)-(4x^2-12x+9)=5x^2+24x-5$$

1. Rozkładamy licznik i mianownik pierwszego ułamka na czynniki:
   $$x^2+x=x(x+1),x^2+4x+4=(x+2{)}^2$$
2. Podstawiamy i zapisujemy iloczyn ułamków:
   $$\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}$$
3. Skracamy $x$ w licznikach i mianownikach oraz jeden czynnik $(x+2)$:
   $$\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ dla $x=2a+b$ i $y=2a-b$:
   $$(2a+b{)}^2-(2a-b{)}^2=\left[(2a+b)-(2a-b)\right]\cdot \left[(2a+b)+(2a-b)\right]$$
2. Upraszczamy oba nawiasy:
   $$\begin{array}{rl}& (2a+b)-(2a-b)=2b\\ & (2a+b)+(2a-b)=4a\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$2b\cdot 4a=8ab$$

1. Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność. Rozkładamy $x^2-1=(x-1)(x+1)$:
   $$\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{3x^2}$$
2. Skracamy $x$ i $(x+1)$:
   $$\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{3x^2}=\frac{1}{3x(x-1)}=\frac{1}{3x^2-3x}$$

1. Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie – mnożymy wielomiany $F$ i $G$:
   $$F(x)\cdot G(x)=3x\left(x^2+2x+3\right)=3x^3+6x^2+9x=W(x)$$
2. Iloczyn $F(x)\cdot G(x)$ jest równy $W(x)$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Sprawdzamy drugie stwierdzenie – obliczamy wartość wielomianu $W$ dla $x=-1$:
   $$W(-1)=3\cdot (-1{)}^3+6\cdot (-1{)}^2+9\cdot (-1)=-3+6-9=-6$$
4. Ponieważ $W(-1)=-6\ne 0$, liczba $(-1)$ nie jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$ – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Stosujemy wzór $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, gdzie $A=2a-3$, $B=2a+3$:
   $$[(2a-3)-(2a+3)]\cdot [(2a-3)+(2a+3)]=(-6)(4a)=-24a$$

1. Rozkładamy na czynniki: $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$, $x^2+2x=x(x+2)$, $2x+6=2(x+3)$:
   $$\frac{x+3}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x(x+2)}{2(x+3)}$$
2. Skracamy $(x+3)$ oraz $(x+2)$:
   $$\frac{x}{2(x+2)}\cdot (x+2)=\frac{x}{2}$$

1. Skoro $W(x)=(x+1)\cdot Q(x)$, to $x=-1$ jest pierwiastkiem $W$, czyli $W(-1)=0$:
   $$-3(-1{)}^3-(-1{)}^2+k(-1)+1=0$$
2. Obliczamy:
   $$3-1-k+1=0⟹3-k=0⟹k=3$$

1. Z warunku $2x=3y$ wyznaczamy $x$ w zależności od $y$:
   $$x=\frac{3}{2}y$$
2. Podstawiamy do licznika i mianownika wyrażenia:
   $$\begin{array}{rl}& x^2+y^2={\left(\frac{3}{2}y\right)}^2+y^2=\frac{9}{4}{y}^2+y^2=\frac{13}{4}{y}^2\\ & x\cdot y=\frac{3}{2}y\cdot y=\frac{3}{2}{y}^2\end{array}$$
3. Dzielimy licznik przez mianownik (upraszczamy $y^2$, bo $y>0$):
   $$\frac{x^2+y^2}{x\cdot y}=\frac{\frac{13}{4}{y}^2}{\frac{3}{2}{y}^2}=\frac{13}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{13}{6}$$

1. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:
   $$\frac{(x+y)+(x-y)}{(x-y)(x+y)}$$
2. Redukujemy wyrazy w liczniku:
   $$\frac{2x}{x^2-y^2}$$