Zbiór zadań

Znaleziono 55 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem $6a^2$. Obliczamy długość krawędzi.
   $$\begin{array}{rl}& 6a^2=12\\ & a^2=2\\ & a=\sqrt{2}\end{array}$$
2. Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{3}$. Podstawiamy $a=\sqrt{2}$.

1. Oznaczmy promień podstawy walca przez $r$, a wysokość obu brył przez $h$. Promień podstawy stożka jest wtedy równy $2r$. Zapisujemy wzory na objętości obu brył.
   $$\begin{array}{rl}& V_{sto\dot{z}ka}=\frac{1}{3}\pi (2r{)}^{2}h=\frac{4}{3}\pi r^{2}h\\ & V_{walca}=\pi r^{2}h\end{array}$$
2. Obliczamy stosunek objętości stożka do objętości walca.
   $$\frac{V_{sto\dot{z}ka}}{V_{walca}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac{4}{3}$$

1. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku $12$, a każda krawędź boczna też ma długość $12$ (ostrosłup jest prawidłowy, więc jego wierzchołek rzutuje się na środek podstawy).
2. Obliczamy przekątną podstawy i jej połowę (odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu):
   $$d=12\sqrt{2},\frac{d}{2}=6\sqrt{2}$$
3. Wysokość ostrosłupa $h$, połowa przekątnej i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
   $$h^2+{\left(6\sqrt{2}\right)}^2=12^2$$
4. Obliczamy $h$:
   $$h^2=144-72=72⟹h=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$$

1. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Odcinki $AC$, $CH$ i $HA$ są przekątnymi ścian sześcianu, więc trójkąt $ACH$ jest równoboczny o boku:
   $$AC=CH=HA=a\sqrt{2}$$
2. Pole trójkąta równobocznego o boku $s$ wynosi $\frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $s=a\sqrt{2}$ i porównujemy z wartością z treści zadania ($4\sqrt{3}$):
3. Upraszczamy i wyznaczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2a^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\\ & \frac{a^2\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\\ & \frac{a^2}{2}=4\\ & a^2=8\\ & a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\end{array}$$

1. Obliczamy pole powierzchni bocznej i pole podstawy stożka ($r=3$, $l=6$):
   $$P_b=\pi rl=\pi \cdot 3\cdot 6=18\pi ,P_p=\pi r^2=\pi \cdot 3^2=9\pi$$
2. Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie: $18\pi$ jest dwa razy większe od $9\pi$, więc stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi w przekroju osiowym, czyli dwukrotność kąta między tworzącą a wysokością. Obliczamy sinus tego kąta:
   $$\sin \alpha =\frac{r}{l}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}⟹\alpha =30°$$
4. Kąt rozwarcia stożka jest więc równy $2\alpha =60°$ — drugie stwierdzenie też jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.

1. Przy podobieństwie w skali $k$ pola powierzchni skalują się jak $k^2$, a objętości jak $k^3$.
2. Pole powierzchni całkowitej walca ${\mathcal{C}}_2$:
   $$k^2\cdot 12\pi =2^2\cdot 12\pi =48\pi$$
3. Zgadza się to z pierwszym stwierdzeniem (P). Objętość walca ${\mathcal{C}}_2$:
   $$k^3\cdot 4\pi =2^3\cdot 4\pi =32\pi$$
4. Zgadza się to z drugim stwierdzeniem (P). Odpowiedź: PP.

1. Oznaczmy promień walca przez $r$ i wspólną wysokość przez $h$. Wtedy promień stożka to $2r$.
2. Objętość stożka:
   $$V_{sto\dot{z}ek}=\frac{1}{3}\pi (2r{)}^{2}h=\frac{4}{3}\pi r^{2}h$$
3. Objętość walca:
   $$V_{walec}=\pi r^{2}h$$
4. Stosunek objętości:
   $$\frac{V_{sto\dot{z}ek}}{V_{walec}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac{4}{3}$$

1. Ściana boczna jest trójkątem równobocznym o boku $8$, więc krawędź podstawy i krawędź boczna ostrosłupa mają długość $8$.
2. Spodek wysokości ostrosłupa leży w środku podstawy — kwadratu o boku $8$. Obliczamy połowę przekątnej podstawy, czyli odległość środka podstawy od jej wierzchołka.
   $$\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$
3. Wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
   $$h^2+(4\sqrt{2}{)}^2=8^2$$
4. Wyznaczamy wysokość $h$.
   $$\begin{array}{rl}& h^2+32=64\\ & h^2=32\\ & h=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\end{array}$$