Zbiór zadań

Znaleziono 97 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Przekątna ściany sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{2}$. Wyznaczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& a\sqrt{2}=2\sqrt{2}\\ & a=2\end{array}$$
2. Obliczamy objętość sześcianu:
   $$V=a^3=2^3=8$$

1. Bryły podobne $F_1$ i $F_2$ mają skalę podobieństwa $k$ taką, że stosunek ich objętości jest równy $k^3$. Wyznaczamy $k$:
   $$\begin{array}{rl}& k^3=\frac{V_2}{V_1}=\frac{512}{64}=8\\ & k=2\end{array}$$
2. Stosunek pól powierzchni całkowitych brył podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:
   $$\frac{P_2}{P_1}=k^2=2^2=4$$

1. Obliczamy długość przekątnej podstawy — kwadratu o boku $4$:
   $$d=4\sqrt{2}$$
2. Kąt $\alpha$ leży w trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątnymi są wysokość graniastosłupa $h$ oraz przekątna podstawy $d$, więc:
   $$\text{tg}\alpha =\frac{h}{d}$$
3. Podstawiamy dane i wyznaczamy wysokość:
   $$\begin{array}{rl}& 2=\frac{h}{4\sqrt{2}}\\ & h=8\sqrt{2}\end{array}$$

1. Ostrosłup o podstawie $n$-kątnej ma $n$ wierzchołków podstawy oraz jeden wspólny wierzchołek wszystkich ścian bocznych, czyli $n+1$ wierzchołków. Skoro ten ostrosłup ma $16$ wierzchołków, to:
   $$n+1=16⟹n=15$$
2. Podstawą tego ostrosłupa jest więc piętnastokąt. Graniastosłup o takiej samej podstawie ma dwie podstawy i żadnego wspólnego wierzchołka, czyli $2n$ wierzchołków:
   $$2\cdot 15=30$$
3. Ten graniastosłup ma $30$ wierzchołków – to odpowiedź B.

1. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm oraz przeciwprostokątnej $5$ cm (trójkąt $3$-$4$-$5$). Obliczamy pole jednej podstawy.
   $$P_{podstawy}=\frac{3\cdot 4}{2}=6$$
2. Obliczamy pole powierzchni bocznej jako iloczyn obwodu podstawy i wysokości graniastosłupa.
   $$P_{boczna}=(3+4+5)\cdot 1=12$$
3. Pole powierzchni bocznej ($12$ cm${}^2$) jest dwa razy większe niż pole jednej podstawy ($6$ cm${}^2$) - odpowiedź B.
4. Obliczamy pole powierzchni całkowitej jako sumę pola bocznej i pól dwóch podstaw.
   $$P_{całkowite}=12+2\cdot 6=24$$
5. Pole powierzchni całkowitej jest równe $24$ cm${}^2$ - odpowiedź C.

1. Podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku $15$, więc obliczamy długość przekątnej podstawy:
   $$e=15\sqrt{2}$$
2. Kąt $\alpha$ jest kątem między przekątną graniastosłupa $d$ a jej rzutem na podstawę, czyli przekątną podstawy $e$, więc $\cos \alpha =\frac{e}{d}$. Wyznaczamy $d$:
   $$\begin{array}{rl}& \cos \alpha =\frac{e}{d}\\ & d=\frac{e}{\cos \alpha }=\frac{15\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=15\sqrt{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}\end{array}$$
3. Skracamy $\sqrt{2}$ i obliczamy wynik:
   $$d=15\bcancel{\sqrt{2}}\cdot \frac{3}{\bcancel{\sqrt{2}}}=45$$

1. Sześcian ma trzy pary równoległych ścian: górną i dolną, przednią i tylną oraz lewą i prawą. Dla dowolnego punktu $P$ leżącego wewnątrz sześcianu suma odległości od dwóch równoległych ścian jest zawsze równa długości krawędzi sześcianu, bo te ściany są odległe od siebie dokładnie o $5$.
2. Ponieważ takich par ścian są trzy, sumujemy trzy takie sumy odległości:
   $$3\cdot 5=15$$