Zbiór zadań

Znaleziono 97 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Sześcienna kostka ma objętość $1$ dm${}^3$, więc długość jej krawędzi $s$ spełnia $s^3=1$, czyli $s=1$ dm.
2. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $a$ - długość krawędzi pudełka, dla której $s=\frac{1}{3}a$
   • $b$ - długość krawędzi pudełka, dla której $s=\frac{1}{2}b$
   • $c$ - długość krawędzi pudełka, dla której $s=\frac{2}{5}c$
3. Wyznaczamy długości krawędzi pudełka:
   $$\begin{array}{rl}& a=3s=3\cdot 1=3\\ & b=2s=2\cdot 1=2\\ & c=\frac{5}{2}s=\frac{5}{2}\cdot 1=2,5\end{array}$$
4. Obliczamy objętość prostopadłościennego pudełka:
   $$V=a\cdot b\cdot c=3\cdot 2\cdot 2,5=15$$
5. Objętość tego pudełka jest równa $15$ dm${}^3$ (odpowiedź D).

1. Ściana boczna jest trójkątem równobocznym o boku $8$, więc krawędź podstawy i krawędź boczna ostrosłupa mają długość $8$.
2. Spodek wysokości ostrosłupa leży w środku podstawy — kwadratu o boku $8$. Obliczamy połowę przekątnej podstawy, czyli odległość środka podstawy od jej wierzchołka.
   $$\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$
3. Wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
   $$h^2+(4\sqrt{2}{)}^2=8^2$$
4. Wyznaczamy wysokość $h$.
   $$\begin{array}{rl}& h^2+32=64\\ & h^2=32\\ & h=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\end{array}$$

1. Korzystamy ze wzoru na objętość walca.
   $$V=\pi r^{2}h$$
2. Podstawiamy dane wartości i wyznaczamy wysokość $h$.
   $$\begin{array}{rl}& 16{\pi }^2=\pi \cdot 2^2\cdot h\\ & 16{\pi }^2=4\pi h\\ & h=4\pi \end{array}$$

Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.

1. Niech $P_p$ oznacza pole podstawy, a $P_b$ pole powierzchni bocznej. Z treści zadania $P_b=4P_p$, a pole całkowite to suma obu pól:
   $$P_p+P_b=P_p+4P_p=5P_p$$
2. Ponieważ pole całkowite jest równe $20$, obliczamy pole podstawy:
   $$5P_p=20⟹P_p=4$$
3. Podstawa ostrosłupa prawidłowego czworokątnego to kwadrat, więc jeśli $a$ jest długością jego krawędzi:
   $$a^2=4⟹a=2$$

1. Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym, po przeciwnych stronach osi. Wysokość, promień podstawy i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt między tworzącą a wysokością (osią stożka) jest równy połowie kąta rozwarcia, czyli $30°$.
2. Tworząca $l=6$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta, więc wysokość obliczamy z definicji cosinusa:
   $$h=l\cos 30^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$

1. Bok sześcianu $a$ spełnia $a^3=729$, czyli $a=9$ (bo $9^3=729$).
2. Długość przekątnej sześcianu o boku $a$ wynosi $a\sqrt{3}$:
   $$d=9\sqrt{3}$$

1. Objętość walca opisuje wzór $V=\pi r^{2}h$. Podstawiamy promień $r=2$ i objętość $V=16{\pi }^2$:
   $$16{\pi }^2=\pi \cdot 2^2\cdot h=4\pi h$$
2. Wyznaczamy wysokość walca:
   $$h=\frac{16{\pi }^2}{4\pi }=4\pi$$

1. Niech $r$ oznacza promień podstawy walca, a $h$ – wysokość walca. Z treści zadania zapisujemy dwa równania:
   $$\begin{gathered} 2r\cdot h=12\sqrt{3} \\ 2\pi r^2+2\pi rh=12\pi (\sqrt{3}+1) \end{gathered}$$
2. Z pierwszego równania wyznaczamy $h$ i podstawiamy do drugiego:
   $$\begin{gathered} h=\frac{6\sqrt{3}}{r} \\ 2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{6\sqrt{3}}{r}=12\pi (\sqrt{3}+1) \end{gathered}$$
3. Upraszczamy i wyznaczamy $r^2$:
   $$2\pi r^2+12\sqrt{3}\pi =12\pi (\sqrt{3}+1)⟹r^2=6$$
4. Stąd:
   $$r=\sqrt{6},h=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=3\sqrt{2}$$
5. Obliczamy objętość $V$ walca:
   $$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 6\cdot 3\sqrt{2}=18\pi \sqrt{2}$$