Zbiór zadań

Znaleziono 56 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Zapisujemy $25$ i $125$ jako potęgi liczby $5$:
   $$25^{-2}=(5^2{)}^{-2}=5^{-4},125^{-4}=(5^3{)}^{-4}=5^{-12}$$
2. Dzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):
   $$\frac{5^{-4}}{5^{-12}}=5^{-4-(-12)}=5^8$$

1. Wyłączamy $5^{12}$ przed nawias w liczniku:
   $$\frac{5^{12}(1+5+5^2)}{5^{12}}$$
2. Skracamy i obliczamy:
   $$1+5+25=31$$

1. Zapisujemy $256=2^8$ oraz upraszczamy pierwiastek:
   $$\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{(2^3{)}^2}=\sqrt[3]{2^6}=2^{6/3}=2^2$$
2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie:
   $$2^8\cdot 2^2=2^{10}$$

1. Wyłączamy sześciany z liczb pod pierwiastkiem:
   $$\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{64\cdot 3}=4\sqrt[3]{3}$$
2. Dodajemy wyrazy podobne:
   $$2\sqrt[3]{3}+4\sqrt[3]{3}=6\sqrt[3]{3}$$

1. Rozwijamy kwadrat sumy:
   $${\left(\sqrt{3}+1\right)}^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$$
2. Upraszczamy $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ i odejmujemy:

1. Zapisuję $9$ jako potęgę liczby $3$, aby sprowadzić dzielenie do wspólnej podstawy.
   $$9^4=(3^2{)}^4=3^8$$
2. Dzielę potęgi o tej samej podstawie, odejmując wykładniki.
   $$3^8:3^2=3^{8-2}=3^6$$
3. Otrzymany wynik $3^6$ jest różny od liczby $3^2$ podanej w zdaniu, więc pierwsze zdanie jest fałszywe (F).
4. Obliczam iloczyn potęg o tej samej podstawie z drugiego zdania, dodając wykładniki.
   $$3^5\cdot 3^2=3^{5+2}=3^7$$
5. Sprawdzam, czy $3^8$ jest trzy razy większe od $3^7$.
   $$3\cdot 3^7=3^{1+7}=3^8$$
6. Otrzymana liczba jest równa $3^8$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Obliczamy wartość wyrażenia $K$:
   $$K=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{36}-\frac{1}{48}=\frac{4}{144}-\frac{3}{144}=\frac{1}{144}$$
2. Wartość $K=\frac{1}{144}$ jest dodatnia, więc pierwsze zdanie jest fałszywe (F).
3. Obliczamy wartość wyrażenia $L$:
   $$L=9\cdot 4-16\cdot 3=36-48=-12$$
4. Liczba $L=-12$ jest mniejsza od $K=\frac{1}{144}$, więc drugie zdanie również jest fałszywe (F).

1. Zapisujemy $8$ i $4$ jako potęgi liczby $2$:
   $$8=2^3,4=2^2$$
2. Podstawiamy i korzystamy z własności potęgowania:
   $$\begin{array}{rl}& 8^6:4^3=(2^3{)}^6:(2^2{)}^3\\ & =2^{18}:2^6\\ & =2^{12}\end{array}$$

1. Zapisujemy $32$ jako potęgę liczby $2$:
   $$32=2^5$$
2. Podstawiamy i korzystamy z zasady potęgowania potęgi:
   $$2^{-1}\cdot {\left(2^5\right)}^{\frac{3}{5}}=2^{-1}\cdot 2^3$$
3. Dodajemy wykładniki i obliczamy:
   $$2^{-1+3}=2^2=4$$

1. Zapisujemy obie liczby jako potęgi liczby $2$:
   $$16=2^4,8=2^3$$
2. Podstawiamy i korzystamy z praw działań na potęgach (potęga ilorazu, potęga potęgi):
   $$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{1}{2^4}\right)}^8\cdot {\left(2^3\right)}^{16}\\ & =2^{-32}\cdot 2^{48}\end{array}$$
3. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki:
   $$2^{-32+48}=2^{16}$$

1. Zapisujemy pierwiastek jako potęgę o wykładniku ułamkowym:
   $$\sqrt[5]{5}=5^{\frac{1}{5}}$$
2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie wewnątrz nawiasu:
   $$5^{\frac{1}{5}}\cdot 5^{-1}=5^{\frac{1}{5}-1}=5^{-\frac{4}{5}}$$
3. Podnosimy do potęgi $-5$, mnożąc wykładniki:
   $${\left(5^{-\frac{4}{5}}\right)}^{-5}=5^{\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot (-5)}=5^4$$

1. Zamieniamy potęgę o wykładniku ujemnym na odwrotność podstawy z wykładnikiem dodatnim:
   $${\left(\frac{4}{25}\right)}^{-0,5}={\left(\frac{25}{4}\right)}^{0,5}$$
2. Wykładnik $0,5$ oznacza pierwiastek kwadratowy:
   $${\left(\frac{25}{4}\right)}^{0,5}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5$$

1. Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki, a podnosząc potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki:
   $$\begin{array}{rl}& 5^2\cdot 5^3\cdot 5^5=5^{2+3+5}=5^{10}\\ & (5^5{)}^2=5^{5\cdot 2}=5^{10}\end{array}$$
2. Obie strony są równe $5^{10}$, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.
3. Obliczamy wartość pierwszego wyrażenia:
   $$\frac{2^3\cdot 3^3}{6}=\frac{8\cdot 27}{6}=\frac{216}{6}=36$$
4. Obliczamy wartość drugiego wyrażenia: dzielenie ułamków zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
   $${\left(\frac{12}{5}:\frac{2}{5}\right)}^2={\left(\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{2}\right)}^2=6^2=36$$
5. Oba wyrażenia są równe $36$, więc drugie zdanie też jest prawdziwe. Odpowiedź: PP.