Zbiór zadań

Znaleziono 37 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Przenosimy wyraz z $x$ z prawej strony na lewą, dodając $x$ do obu stron:
   $$\begin{array}{rl}1-\frac{3}{2}x+x& <\frac{2}{3}\\ 1-\frac{1}{2}x& <\frac{2}{3}\end{array}$$
2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę:
   $$\begin{array}{rl}-\frac{1}{2}x& <\frac{2}{3}-1\\ -\frac{1}{2}x& <-\frac{1}{3}\end{array}$$
3. Dzielimy obie strony przez $-\frac{1}{2}$ (liczbę ujemną), zmieniając kierunek nierówności:
   $$x>\frac{2}{3}$$

1. Znak $\ge$ jest nieostry, więc liczba $-3$ też spełnia nierówność i na osi liczbowej zaznaczamy ją zamalowanym (domkniętym) kółkiem.
2. Nierówność obejmuje wszystkie liczby większe lub równe $-3$, czyli leżące na osi na prawo od $-3$, więc zamalowujemy odcinek osi w tę stronę.
3. Rysunek z zamalowanym kółkiem w punkcie $-3$ i zaznaczonym obszarem na prawo od niego to rysunek C.

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $12$:
   $$\begin{array}{rl}& 3x-5<\frac{1}{3}\cdot 12\\ & 3x-5<4\end{array}$$
2. Rozwiązujemy nierówność liniową:
   $$\begin{array}{rl}3x& <9\\ x& <3\end{array}$$
3. Szukamy liczb całkowitych dodatnich spełniających $x<3$. Są to $x=1$ oraz $x=2$ — łącznie $2$ rozwiązania.

1. Zapisujemy nierówność w postaci ogólnej:
   $$x^2-6x-7\le 0$$
2. Obliczamy deltę $x^2-6x-7$:
   $$\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-7)=36+28=64$$
3. Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu:
   $$\begin{array}{rl}& x_1=\frac{6-\sqrt{64}}{2}=\frac{6-8}{2}=-1\\ & x_2=\frac{6+\sqrt{64}}{2}=\frac{6+8}{2}=7\end{array}$$
4. Ramiona paraboli $y=x^2-6x-7$ są skierowane w górę (współczynnik przy $x^2$ jest dodatni), więc funkcja przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi. Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności ze szkicu:
   
   

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $3$, aby pozbyć się ułamka:
   $$-6(x+3)\le 2-x$$
2. Wymnażamy nawias po lewej stronie:
   $$-6x-18\le 2-x$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą:
   $$\begin{array}{rl}-6x+x& \le 2+18\\ -5x& \le 20\end{array}$$
4. Dzielimy obie strony przez $-5$, zmieniając przy tym znak nierówności (dzielimy przez liczbę ujemną):
   $$x\ge -4$$
5. Zatem zbiorem rozwiązań jest przedział $[-4,\infty )$.

1. Przekształcamy nierówność równoważnie, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}x(2x-1)& <2x\\ 2x^2-x& <2x\\ 2x^2-3x& <0\end{array}$$
2. Wyłączamy $2x$ przed nawias:
   $$2x\left(x-\frac{3}{2}\right)<0$$
3. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero — odczytujemy miejsca zerowe trójmianu:
   $$x=0\text{lub}x=\frac{3}{2}$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=2>0$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Szukamy zbioru $x$, dla których wykres jest pod osią $Ox$, czyli między miejscami zerowymi:
   

1. Mnożymy obie strony przez $4$ (liczba dodatnia, znak nierówności się nie zmienia):
   $$8x-3>24x$$
2. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}& -3>24x-8x\\ & -3>16x\end{array}$$
3. Dzielimy obie strony przez $16$ (liczba dodatnia, znak się nie zmienia):
   $$-\frac{3}{16}>x$$
4. Zatem zbiorem rozwiązań jest przedział:
   $$x\in \left(-\infty ,-\frac{3}{16}\right)$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez wspólny mianownik $15$ (liczba dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia):
   $$15\left(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\right)>15\cdot \frac{x}{5}$$
2. Wykonujemy mnożenie:
   $$6-5x>3x$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę nierówności:
   $$6>8x$$
4. Dzielimy obie strony przez $8$:
   $$x<\frac{3}{4}$$

1. Rozkładamy współczynnik przy $x$ w pierwszym czynniku:
   $$(3x-9)(x+k)=3(x-3)(x+k)$$
2. Miejscami zerowymi wyrażenia są $x=3$ oraz $x=-k$. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, rozwiązaniem nierówności $<0$ jest przedział między pierwiastkami. Z treści wiemy, że tym przedziałem jest $(-2,3)$, więc drugim pierwiastkiem musi być $-2$:
   $$-k=-2$$
3. Stąd:
   $$k=2$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $6$ (wspólny mianownik), aby pozbyć się ułamków:
   $$6\left(2-\frac{x}{2}\right)\ge 6\left(\frac{x}{3}-3\right)$$
2. Wymnażamy:
   $$12-3x\ge 2x-18$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}12+18& \ge 2x+3x\\ 30& \ge 5x\\ 6& \ge x\end{array}$$
4. Rozwiązaniem nierówności jest $x\le 6$. Największą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest $6$.

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
   $$3x^2-8x-3\ge 0$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu $3x^2-8x-3$:
   $$\Delta =(-8{)}^2-4\cdot 3\cdot (-3)=64+36=100$$
3. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
   $$x_1=\frac{8-10}{6}=-\frac{1}{3},x_2=\frac{8+10}{6}=3$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Nierówność $3x^2-8x-3\ge 0$ jest spełniona poza przedziałem między pierwiastkami, łącznie z ich końcami: