Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 11

1 pkt

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

A B C D S

jest kwadrat

A B C D

. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

Miara kąta

S A C

jest równa

D.

45°

1
Niech $a$ będzie długością krawędzi podstawy. Ściany boczne są trójkątami równobocznymi, więc krawędzie boczne też mają długość $a$ . Zatem $S A = S C = a$ .
2
$A C$ to przekątna kwadratu o boku $a$ .
$A C = a 2$

Zadanie 22 Geometria przestrzenna

1 pkt

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe

4

. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa

Zadanie 22 Geometria przestrzenna

1 pkt

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest

3

razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy

2

i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

Zadanie 23 Geometria przestrzenna

1 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

. Przekątne

A C

i

B D

ściany

A B C D

sześcianu przecinają się w punkcie

P

(zobacz rysunek).

Tangens kąta, jaki odcinek

P H

tworzy z płaszczyzną

A B C D

, jest równy

Zadanie 24 Geometria przestrzenna

1 pkt

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości

12

. Objętość tego walca jest zatem równa

Zadanie 32 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest prostokąt o polu równym

432

, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy

3 : 4

. Przekątne podstawy

A B C D

przecinają się w punkcie

O

. Odcinek

S O

jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt

S A O

ma miarę

6 0^{\circ}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Geometria przestrzenna

5 pkt

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

A B C D S

jest równa

12

(zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt

α

taki, że

tg α = \frac{2}{5}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Geometria przestrzenna

5 pkt

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt

α

jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta

α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Geometria przestrzenna

5 pkt

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa

6

. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt

α

jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta

α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

4 pkt

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru

V = \frac{1}{3} π H (r^{2} + r R + R^{2})

, gdzie

r

i

R

są promieniami podstaw (

r < R

), a

H

jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa

10

, objętość

840 π

, a

r = 6

. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria przestrzenna

5 pkt

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

A B C S

płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek

S

i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość

\frac{4 3}{3}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Geometria przestrzenna

1 pkt

Cztery jednakowe drewniane elementy, każdy w kształcie prostopadłościanu o wymiarach

2

cm

\times

2

cm

\times

9

cm, przyklejono do metalowej płytki w sposób pokazany na rysunku I.

W ten sposób przygotowano formę, którą wypełniono masą gipsową, i tak otrzymano gipsowy odlew w kształcie prostopadłościanu, pokazany na rysunku II.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Objętość drewna, z którego zbudowano formę, jest równa .........

Objętość gipsowego odlewu jest równa .........

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Na rysunkach przedstawiono ostrosłup prawidłowy i graniastosłup prawidłowy. Wszystkie krawędzie obu brył są jednakowej długości.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest większa niż suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa.
Całkowite pole powierzchni ostrosłupa jest większe niż całkowite pole powierzchni graniastosłupa.

Zadanie 18 Geometria przestrzenna

2 pkt

Cztery jednakowe prostopadłościenne klocki, każdy o wymiarach

2

cm

\times

1

cm

\times

1

cm, ułożono tak, jak przedstawiono na rysunku.

Następnie do tej budowli dołożono sześcienne klocki o krawędzi długości

1

cm tak, aby powstał prostopadłościan najmniejszy z możliwych.

Uzupełnij zdania. Wpisz w każdą lukę odpowiednią liczbę.

Liczba sześciennych klocków o krawędzi długości

1

cm, które należy dołożyć do budowli, jest równa ______. Najmniejszy z możliwych prostopadłościanów, który w ten sposób otrzymano, ma wymiary ___ cm

\times

___ cm

\times

___ cm.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 20 Geometria przestrzenna

1 pkt

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa

27 π

. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

Zbiór zadań

Wyniki