Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 10

5 pkt

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym

A B C D E F S

, którego krawędź podstawy

a

ma długość

8

(zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

α = 6 0^{\circ}

. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

cos β = \frac{2 13}{13}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wprowadzamy oznaczenia:
- $P$ - środek podstawy (spodek wysokości ostrosłupa),
- $R$ - środek krawędzi $A B$ ,
- $β$ - kąt między krawędzią boczną $S B$ a płaszczyzną podstawy, czyli kąt $S B P$ .

Zadanie 34 Geometria przestrzenna

5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

, którego krawędź boczna ma długość

6

(zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy

7

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego

A B C D E F

jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣ ∢ A C B ∣ = 9 0^{\circ}

(zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej

A C

tego trójkąta do długości przyprostokątnej

B C

jest równy

4 : 3

. Punkt

S

jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie

A B C

, a długość odcinka

S C

jest równa

5

. Pole ściany bocznej

B E F C

graniastosłupa jest równe

48

. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria przestrzenna

6 pkt

Podstawą ostrosłupa prawidłowego

A B C S

jest trójkąt równoboczny

A B C

o boku długości

6

. Na krawędziach bocznych

B S

i

C S

wybrano punkty, odpowiednio

D

i

E

, takie że

∣ B D ∣ = ∣ C E ∣

oraz

∣ D E ∣ = 4

(zobacz rysunek). Płaszczyzna

A D E

jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej

B C S

ostrosłupa.

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria przestrzenna

6 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest prostokąt

A B C D

, którego boki mają długości

∣ A B ∣ = 32

i

∣ B C ∣ = 18

. Ściany boczne

A B S

i

C D S

są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem

α

. Ściany boczne

B C S

i

A D S

są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

β

. Miary kątów

α

i

β

spełniają warunek:

α + β = 9 0^{\circ}

. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Geometria przestrzenna

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment siatki prostopadłościanu oraz podano długości niektórych jego krawędzi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa

Zadanie 14 Geometria przestrzenna

1 pkt

W koszu było

203

jednakowe sześcienne klocki. Zbudowano z nich możliwie największy sześcian, a pozostałe odłożono.

Ile klocków odłożono? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Z sześciu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi

1

cm zbudowano bryłę I. Następnie z bryły tej usunięto dwa sześciany i otrzymano bryłę II (patrz: rysunki).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni bryły II jest mniejsze od pola powierzchni bryły I o

Zadanie 16 Geometria przestrzenna

1 pkt

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

A B C D S

jest kwadrat

A B C D

(zobacz rysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta

S A C

jest równa

Zadanie 19 Geometria przestrzenna

1 pkt

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa

96

cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Zadanie 21 Geometria przestrzenna

1 pkt

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary

5

dm

\times

3

dm

\times

2

dm (zobacz rysunek).

Przekątna

K L

tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do

0, 01

dm – równa

Zadanie 21 Geometria przestrzenna

1 pkt

Dany jest prostopadłościan o wymiarach

30 cm \times 40 cm \times 120 cm

(zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki

a

,

b

,

c

,

d

, o długościach – odpowiednio –

119

cm,

121

cm,

129

cm i

131

cm.

Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa

Zadanie 21 Geometria przestrzenna

1 pkt

Promień

A S

podstawy walca jest równy połowie wysokości

O S

tego walca. Sinus kąta

O A S

(zobacz rysunek) jest równy

Zadanie 22 Geometria przestrzenna

1 pkt

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat

A B C D

o boku długości

4

. Krawędź boczna

D S

jest prostopadła do podstawy i ma długość

3

(zobacz rysunek).

Pole ściany

B C S

tego ostrosłupa jest równe

Zbiór zadań

Wyniki