Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 9

1 pkt

Pole równoległoboku

A B C D

jest równe

406

. Bok

A D

tego równoległoboku ma długość

10

, a kąt

A B C

równoległoboku ma miarę

135°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku

A B

jest równa

A.

83

1
Sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do $180°$ .
$∠ B A D = 180° - 135° = 45°$
2
Pole równoległoboku to iloczyn dwóch sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi. Wstawiamy dane i wyznaczamy $∣ A B ∣$ .
$P = ∣ A B ∣ \cdot ∣ A D ∣ \cdot sin (∠ B A D) 406 = ∣ A B ∣ \cdot 10 \cdot sin 45° 406 = ∣ A B ∣ \cdot 10 \cdot \frac{2}{2} 406 = 52 \cdot ∣ A B ∣ ∣ A B ∣ = \frac{40 6}{5 2} ∣ A B ∣ = 83$

Zadanie 34 Planimetria

2 pkt

W trójkącie prostokątnym równoramiennym

A B C

o przeciwprostokątnej

B C

punkt

D

jest środkiem ramienia

A B

. Odcinek

C D

ma długość

5

(zobacz rysunek).

Oblicz obwód trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Planimetria

1 pkt

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach

5

i

8

jest równe

12

. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

Zadanie 6 Planimetria

4 pkt

W trójkącie

A B C

poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki

B C

,

A C

i

A B

tego trójkąta w punktach - odpowiednio -

K

,

L

oraz

M

. Punkt

P

jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach

C L P K

oraz

B K P M

można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt

A B C

jest równoboczny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Planimetria

3 pkt

Punkt

P

jest punktem przecięcia przekątnych trapezu

A B C D

. Długość podstawy

C D

jest o

2

mniejsza od długości podstawy

A B

. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym

C P D

jest o

3

mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie

A P B

.

Wykaż, że spełniony jest warunek

∣ D P ∣^{2} + ∣ C P ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2} = \frac{4 2}{3} \cdot ∣ D P ∣ \cdot ∣ C P ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

W pewnym rombie jeden z kątów wewnętrznych ma miarę

120°

. Obwód tego rombu jest równy

24

cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dłuższa przekątna tego rombu ma długość

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym kąt

B C A

ma miarę

35°

. Punkt

D

leży na boku

B C

tego trójkąta. Odcinek

A D

ma taką samą długość jak odcinek

B D

. Kąt

A D C

ma miarę

130°

(zobacz rysunek poniżej).

Kąt

C A B

ma miarę

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono trapez

K L M N

zbudowany z trzech jednakowych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości

3

cm i

4

cm.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

Zadanie 17 Planimetria

1 pkt

Na trójkącie ostrokątnym

A B C

opisano okrąg o środku

O

. Miara kąta

A B C

jest równa

65°

. Miara kąta

A C O

jest równa

Zadanie 17 Planimetria

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

leżą na okręgu o środku

S

. Punkt

D

jest punktem przecięcia cięciwy

A C

i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu

B

. Miara kąta

B S C

jest równa

α

, a miara kąta

A D B

jest równa

γ

(zobacz rysunek).

Wtedy kąt

A B D

ma miarę

Zadanie 18 Planimetria

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

P

leżą na okręgu o środku

S

i promieniu

6

. Czworokąt

A S B P

jest rombem, w którym kąt ostry

P A S

ma miarę

60°

(zobacz rysunek).

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

Zadanie 18 Planimetria

1 pkt

Trójkąt

A B C

jest prostokątny. Odcinek

A D

jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka

A

na przeciwprostokątną

B C

. Wtedy

Zadanie 18 Planimetria

3 pkt

Dany jest romb

A B C D

. Obwód tego rombu jest równy

52

cm, a przekątna

A C

ma długość

24

cm (zobacz rysunek poniżej).

Oblicz długość przekątnej

BD

rombu

ABCD

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 18 Planimetria

3 pkt

Prostokątna łąka jest podzielona na dwie części

A

i

B

, tak jak pokazano na rysunku. Każda z tych części ma kształt trapezu.

Kosiarka w ciągu każdej godziny swojej pracy kosi trawę z powierzchni o takim samym polu. Trawę z części

A

kosiarka skosiła w ciągu trzech godzin.

Oblicz, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części

B

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 18 Planimetria

1 pkt

Wierzchołki

A

,

B

,

C

czworokąta

A B S C

leżą na okręgu o środku

S

. Kąt

A B S

ma miarę

40°

(zobacz rysunek), a przekątna

B C

jest dwusieczną tego kąta.

Miara kąta

A S C

jest równa

Pole trapezu $K L M N$ jest równe $18 cm^{2}$ .
Obwód trapezu $K L M N$ jest równy $18$ cm.

Zbiór zadań

Wyniki