Zbiór zadań

Znaleziono 20 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Obliczamy pierwiastki trzeciego stopnia w liczniku:
   $$\sqrt[3]{-64}=-4,\sqrt[3]{27}=3$$
2. Obliczamy pierwiastek piątego stopnia w mianowniku:
   $$\sqrt[5]{-32}=-2$$
3. Podstawiamy i obliczamy wynik:
   $$\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$$

1. Zapisujemy $9^4$ jako potęgę liczby $3$:
   $$9^4=(3^2{)}^4=3^8$$
2. Dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmując wykładniki:
   $$\frac{3^8}{3^{-20}}=3^{8-(-20)}=3^{28}$$
3. Zapisujemy wynik jako potęgę liczby $9$:
   $$3^{28}=(3^2{)}^{14}=9^{14}$$

1. Łączymy pierwiastki sześcienne w liczniku i mianowniku (ten sam stopień pierwiastka) w jeden pierwiastek:
   $$\frac{\sqrt[3]{50}\cdot \sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\frac{50\cdot (-15)}{2\cdot 3}}$$
2. Obliczamy wyrażenie pod pierwiastkiem:
   $$\frac{-750}{6}=-125$$
3. Obliczamy pierwiastek sześcienny:
   $$\sqrt[3]{-125}=-5$$

1. Obliczamy kapitał po dwóch latach kapitalizacji ze wzoru na procent składany:
   $$10000\cdot (1+6\%{)}^2=10000\cdot (1,06{)}^2=10000\cdot 1,1236=11236$$
2. Odsetki to różnica między kapitałem końcowym a wpłaconym:
   $$11236-10000=1236$$

1. Zapisujemy składnik wewnątrz pierwszego pierwiastka jako potęgi o wykładnikach wymiernych:
   $$5\sqrt{5}=5^1\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}}$$
2. Teraz to samo z zewnętrznym pierwiastkiem:
   $$\sqrt{5^{\frac{3}{2}}}=(5^{\frac{3}{2}}{)}^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}$$

1. Zapisujemy $9$ i $27$ jako potęgi liczby $3$ czyli: $9=3^2$, $27=3^3$.
2. Podstawiamy i stosujemy prawa działań na potęgach:
   $$\frac{3^{10}\cdot (3^2{)}^{20}}{(3^3{)}^{15}}=\frac{3^{10}\cdot 3^{40}}{3^{45}}=\frac{3^{50}}{3^{45}}$$
3. Odejmujemy wykładniki:
   $$3^{50-45}=3^5$$

1. Zapisujemy $4^{12}=(2^2{)}^{12}=2^{24}$, więc:
   $$4^{12}\cdot 5^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}=(2\cdot 5{)}^{24}=10^{24}$$
2. Liczba $10^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20=2^2\cdot 5$, bo wynik ich dzielenia jest liczbą całkowitą:
3. Liczba $10^{24}$ w zapisie dziesiętnym to cyfra $1$ i $24$ zera, czyli ma $25$ cyfr.

1. Upraszczamy $\sqrt{32}$:
   $$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$$
2. Podstawiamy, odejmujemy pierwiastki i obliczamy kwadrat:
   $${\left(4\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)}^2={\left(3\sqrt{2}\right)}^2=9\cdot 2=18$$

1. Wyłączamy $5^{12}$ przed nawias w liczniku:
   $$\frac{5^{12}(1+5+5^2)}{5^{12}}$$
2. Skracamy i obliczamy:
   $$1+5+25=31$$

1. Zapisujemy $256=2^8$ oraz upraszczamy pierwiastek:
   $$\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{(2^3{)}^2}=\sqrt[3]{2^6}=2^{6/3}=2^2$$
2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie:
   $$2^8\cdot 2^2=2^{10}$$

1. Rozwijamy kwadrat sumy:
   $${\left(\sqrt{3}+1\right)}^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$$
2. Upraszczamy $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ i odejmujemy:
   $$4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4$$

1. Zapisujemy obie liczby jako potęgi liczby $2$:
   $$16=2^4,8=2^3$$
2. Podstawiamy i korzystamy z praw działań na potęgach (potęga ilorazu, potęga potęgi):
   $$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{1}{2^4}\right)}^8\cdot {\left(2^3\right)}^{16}\\ & =2^{-32}\cdot 2^{48}\end{array}$$
3. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki:
   $$2^{-32+48}=2^{16}$$

1. Upraszczamy wyrażenie w nawiasie:
   $$\sqrt[5]{5}\cdot \frac{1}{5}=5^{\frac{1}{5}}\cdot 5^{-1}=5^{\frac{1}{5}-1}=5^{-\frac{4}{5}}$$
2. Podnosimy do potęgi $(-5)$:
   $${\left(5^{-\frac{4}{5}}\right)}^{-5}=5^{-\frac{4}{5}\cdot (-5)}=5^4$$

1. Korzystamy ze wzoru na procent składany: $K_n=K_0\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$. Po dwóch latach:
   $$67925,76=60000\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2$$
2. Obliczamy:
   $${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2=\frac{67925,76}{60000}=1,132096$$
3. Wyciągamy pierwiastek i wyznaczamy $p$:
   $$1+\frac{p}{100}=\sqrt{1,132096}=1,064⟹p=6,4\%$$