Zbiór zadań

Znaleziono 56 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy pierwiastki trzeciego stopnia w liczniku:
   $$\sqrt[3]{-64}=-4,\sqrt[3]{27}=3$$
2. Obliczamy pierwiastek piątego stopnia w mianowniku:
   $$\sqrt[5]{-32}=-2$$
3. Podstawiamy i obliczamy wynik:
   $$\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$$

1. Zapisujemy $9^4$ jako potęgę liczby $3$:
   $$9^4=(3^2{)}^4=3^8$$
2. Dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmując wykładniki:
   $$\frac{3^8}{3^{-20}}=3^{8-(-20)}=3^{28}$$
3. Zapisujemy wynik jako potęgę liczby $9$:
   $$3^{28}=(3^2{)}^{14}=9^{14}$$

1. Łączymy pierwiastki sześcienne w liczniku i mianowniku w jeden pierwiastek:
   $$\frac{\sqrt[3]{50}\cdot \sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\frac{50\cdot (-15)}{2\cdot 3}}$$
2. Obliczamy wyrażenie pod pierwiastkiem:
   $$\frac{50\cdot (-15)}{2\cdot 3}=\frac{-750}{6}=-125$$
3. Obliczamy pierwiastek sześcienny:
   $$\sqrt[3]{-125}=-5$$

1. Obliczamy wartości poszczególnych potęg:
   $$4^3=64,8^2=64,2^4=16$$
2. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań najpierw wykonujemy dzielenie, a dopiero potem odejmowanie:
   $$8^2:2^4=64:16=4$$
3. Wykonujemy odejmowanie:
   $$4^3-8^2:2^4=64-4=60$$

1. Obliczamy kapitał po dwóch latach kapitalizacji ze wzoru na procent składany:
   $$\begin{array}{rl}& K_n=K_0\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n\\ & K_2=10000\cdot (1+6\%{)}^2=10000\cdot (1,06{)}^2=10000\cdot 1,1236=11236\end{array}$$
2. Odsetki to różnica między kapitałem końcowym a wpłaconym:
   $$11236-10000=1236$$

1. Zapisujemy $9$ i $27$ jako potęgi liczby $3$ czyli: $9=3^2$, $27=3^3$.
2. Podstawiamy i stosujemy prawa działań na potęgach:
   $$\frac{3^{10}\cdot (3^2{)}^{20}}{(3^3{)}^{15}}=\frac{3^{10}\cdot 3^{40}}{3^{45}}=\frac{3^{50}}{3^{45}}$$
3. Odejmujemy wykładniki:
   $$3^{50-45}=3^5$$

1. Zapisujemy składnik wewnątrz pierwszego pierwiastka jako potęgi o wykładnikach wymiernych:
   $$5\sqrt{5}=5^1\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}}$$
2. Teraz to samo z zewnętrznym pierwiastkiem:
   $$\sqrt{5^{\frac{3}{2}}}=(5^{\frac{3}{2}}{)}^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}$$

1. Obliczamy $w$:
   $$w=\sqrt{100-64}-2=\sqrt{36}-2=6-2=4$$
2. Obliczamy $x$:
   $$x=12-\sqrt{64+36}=12-\sqrt{100}=12-10=2$$
3. Obliczamy $y$:
   $$y=\sqrt{25-16}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0$$
4. Obliczamy $z$:
   $$z=7-\sqrt{9+16}=7-\sqrt{25}=7-5=2$$
5. Jedyną z tych liczb równą $0$ jest $y$.

1. Sprowadzamy wszystkie wyrażenia do potęg liczby $2$:
   $$\begin{array}{rl}& I:2^{24}:2=2^{23}\\ & II:4^{12}\cdot 4=(2^2{)}^{12}\cdot 2^2=2^{24}\cdot 2^2=2^{26}\\ & III:2^{25}:8=2^{25}:2^3=2^{22}\\ & IV:(4\cdot 8{)}^4=32^4=(2^5{)}^4=2^{20}\end{array}$$
2. Porównujemy wykładniki: największy jest $26$, więc największą wartość ma wyrażenie II (odpowiedź B).

1. Grupujemy czynniki o podstawie $2$ i dodajemy wykładniki:
   $$2^5\cdot 2^3=2^{5+3}=2^8$$
2. Grupujemy czynniki o podstawie $3$ (pamiętając, że $3=3^1$) i dodajemy wykładniki:
   $$3^1\cdot 3^4=3^{1+4}=3^5$$
3. Łącząc oba wyniki, otrzymujemy wyrażenie równe wartości $2^8\cdot 3^5$.

1. Zapisujemy $4^{12}=(2^2{)}^{12}=2^{24}$, więc:
   $$4^{12}\cdot 5^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}=(2\cdot 5{)}^{24}=10^{24}$$
2. Liczba $10^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20=2^2\cdot 5$, bo wynik ich dzielenia jest liczbą całkowitą:
3. Liczba $10^{24}$ w zapisie dziesiętnym to cyfra $1$ i $24$ zera, czyli ma $25$ cyfr.

1. Obliczamy pierwiastki w liczniku:
   $$\sqrt{100}-\sqrt{36}=10-6=4$$
2. Obliczamy pierwiastek sześcienny w mianowniku:
   $$\sqrt[3]{-8}=-2$$
3. Dzielimy licznik przez mianownik:
   $$\frac{4}{-2}=-2$$

1. Zapisujemy liczby $x$ i $z$ w postaci dziesiętnej (przesuwamy przecinek o tyle miejsc, ile wskazuje wykładnik potęgi):
   $$x=5,27\cdot 10^{-3}=0,00527,z=1400\cdot 10^{-5}=0,014$$
2. Liczba $y=0,0023$ jest już zapisana w postaci dziesiętnej. Porównujemy wszystkie trzy liczby, patrząc kolejno na cyfry po przecinku:
   $$0,0023<0,00527<0,014$$
3. Zatem najmniejsza jest liczba $y$, potem $x$, a największa jest $z$:
   $$y<x<z$$

1. Upraszczamy wyrażenie pod pierwiastkami - zapisujemy $\sqrt{10}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}$ oraz $\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$, a następnie skracamy wspólne czynniki:
   $$a=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{10}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=2\sqrt{5}=\sqrt{20}$$
2. Szukamy dwóch kolejnych liczb naturalnych, między którymi leży $\sqrt{20}$ - sprawdzamy najbliższe kwadraty liczb całkowitych:
   $$\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$$
3. Obliczamy pierwiastki liczb skrajnych:
   $$\sqrt{16}=4,\sqrt{25}=5$$
4. Zatem liczba $a=\sqrt{20}$ znajduje się na osi liczbowej między liczbami $4$ i $5$.