Zbiór zadań

Znaleziono 50 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Z wykresu odczytujemy wartości funkcji dla podanych argumentów: $f(-2)=-3$ oraz $f(2)=1$.
2. Obliczamy wartość podanego wyrażenia.
   $$f(-2)+3\cdot f(2)=-3+3\cdot 1=0$$

1. Najmniejsza wartość funkcji $f$ to $-4$ — jest osiągana w wierzchołku wykresu, zaznaczonym pełnym kółkiem, więc należy do zbioru wartości.
2. Prawa gałąź wykresu (od wierzchołka do prawego końca) rośnie w sposób ciągły od $-4$ do $3$, więc obejmuje już cały przedział $⟨-4,3⟩$. Lewa gałąź nie wykracza poza ten przedział, więc nie dodaje nowych wartości.
3. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨-4,3⟩$.

1. Dziedziną funkcji jest suma dziedzin poszczególnych gałęzi:
   $$(-5,-2]\cup (-2,1]\cup (1,3]=(-5,3]$$
2. Wyznaczamy zbiór wartości na każdej gałęzi. Na $(-5,-2]$ funkcja $-x-2$ maleje od nieosiąganej wartości $3$ (przy $x\to -5^{+}$) do wartości $0$ przy $x=-2$, czyli przyjmuje wartości $[0,3)$. Na $(-2,1]$ funkcja jest stale równa $0$. Na $(1,3]$ funkcja $x$ przyjmuje wartości $(1,3]$. Suma tych zbiorów daje cały przedział:
   $$[0,3)\cup \{0\}\cup (1,3]=[0,3]$$
3. Wyznaczamy miejsca zerowe. Na $(-5,-2]$ równanie $-x-2=0$ daje $x=-2$. Na $(-2,1]$ funkcja jest tożsamościowo równa zeru, więc cały ten przedział to miejsca zerowe. Na $(1,3]$ równanie $x=0$ nie ma rozwiązania w tym przedziale. Łącząc:
4. Obliczamy $f(-3)$ (argument $-3$ należy do pierwszej gałęzi):
   $$f(-3)=-(-3)-2=1$$
5. Rozwiązujemy nierówność $f(x)<1$ na każdej gałęzi. Na $(-5,-2]$: $-x-2<1\Rightarrow x>-3$, po przecięciu z dziedziną gałęzi daje $(-3,-2]$. Na $(-2,1]$: nierówność $0<1$ jest zawsze prawdziwa, więc cały przedział $(-2,1]$ spełnia warunek. Na $(1,3]$: $x<1$ nie ma rozwiązań w tym przedziale. Suma rozwiązań:

1. Dziedziną funkcji jest suma przedziałów, na których jest ona określona:
   $$[-4,-2]\cup (-2,2]\cup (2,4)=[-4,4)$$
2. Odczytujemy wartości funkcji na poszczególnych kawałkach: na pierwszym ($x+5$) wartości rosną od $f(-4)=1$ do $f(-2)=3$, na drugim funkcja jest stała i równa $3$, a na trzecim ($-3x+9$) wartości maleją od $3$ (wyłącznie) do $-3$ (wyłącznie). Łącząc te zbiory wartości, otrzymujemy przedział:
   $$(-3,3]$$
3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie tam, gdzie wykres leży powyżej osi $Ox$. Na pierwszym i drugim kawałku wartości są dodatnie na całej ich dziedzinie. Na trzecim kawałku rozwiązujemy nierówność:
   $$-3x+9>0⟹x<3$$
4. Łącząc powyższe przedziały ($[-4,-2]$, $(-2,2]$ oraz $(2,3)$), otrzymujemy zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
   $$[-4,3)$$
5. Rozwiązujemy równanie $f(x)=3$ na każdym kawałku. Na pierwszym:
   $$x+5=3⟹x=-2$$
6. Ten wynik należy do dziedziny pierwszego kawałka. Na drugim kawałku funkcja jest stale równa $3$ dla każdego $x\in (-2,2]$. Na trzecim:
   $$-3x+9=3⟹x=2$$
7. Wartość $x=2$ nie należy do dziedziny trzeciego kawałka (jest już uwzględniona w drugim). Łącząc rozwiązania, otrzymujemy zbiór:
   $$[-2,2]$$

1. Miejsce zerowe szukamy w każdym z kawałków funkcji. W pierwszym kawałku ($x\in (-5,-3]$) rozwiązujemy równanie $-2x-10=0$:
   $$-2x-10=0⟹x=-5$$
2. Liczba $-5$ nie należy jednak do przedziału $(-5,-3]$ (przedział jest otwarty w tym punkcie), więc w tym kawałku funkcja nie ma miejsca zerowego. W drugim kawałku ($x\in (-3,4]$) rozwiązujemy równanie $x-1=0$:
   $$x-1=0⟹x=1$$
3. Liczba $1$ należy do przedziału $(-3,4]$, więc miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $1$.
4. Obliczamy $f(-2)$: argument $-2$ należy do przedziału $(-3,4]$, więc korzystamy ze wzoru $f(x)=x-1$:
   $$f(-2)=-2-1=-3$$
5. Obliczamy $f(2)$: argument $2$ również należy do przedziału $(-3,4]$:
   $$f(2)=2-1=1$$
6. Obliczamy wartość wyrażenia:
   $$f(-2)+3\cdot f(2)=-3+3\cdot 1=-3+3=0$$

1. W pierwszym kawałku ($x\in (-5,-3]$) funkcja $f(x)=-2x-10$ jest malejąca. Dla $x$ dążącego do $-5$ wartość $f(x)$ dąży do $0$ (bez osiągnięcia), a dla $x=-3$ funkcja przyjmuje wartość $f(-3)=-2\cdot (-3)-10=-4$. W tym kawałku funkcja przyjmuje więc wartości z przedziału $[-4,0)$.
2. W drugim kawałku ($x\in (-3,4]$) funkcja $f(x)=x-1$ jest rosnąca. Dla $x$ dążącego do $-3$ wartość $f(x)$ dąży do $-4$ (bez osiągnięcia), a dla $x=4$ funkcja przyjmuje wartość $f(4)=4-1=3$. W tym kawałku funkcja przyjmuje wartości z przedziału $(-4,3]$.
3. Łącząc oba zbiory wartości, otrzymujemy zbiór wartości funkcji $f$:
   $$[-4,0)\cup (-4,3]=[-4,3]$$
4. Rozwiązujemy nierówność $f(x)<-2$ w pierwszym kawałku:
   $$\begin{array}{rl}-2x-10& <-2\\ -2x& <8\\ x& >-4\end{array}$$
5. Dla $x\in (-5,-3]$ otrzymujemy $x\in (-4,-3]$. W drugim kawałku:
   $$x-1<-2⟹x<-1$$
6. Dla $x\in (-3,4]$ otrzymujemy $x\in (-3,-1)$. Łącząc oba przedziały (punkt $x=-3$ należy do pierwszego z nich), otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:
   $$(-4,-3]\cup (-3,-1)=(-4,-1)$$

1. Z warunków $Q(4)=2$ oraz $Q(6)=18$ zapisujemy dwa równania:
   $$\begin{gathered} 2=Q_0\cdot {\beta }^{-4} \\ 18=Q_0\cdot {\beta }^{-6} \end{gathered}$$
2. Dzielimy te równania stronami, aby wyeliminować $Q_0$, i wyznaczamy $\beta$ (jako stałą dodatnią):
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{18}=\frac{Q_0\cdot {\beta }^{-4}}{Q_0\cdot {\beta }^{-6}}={\beta }^2\\ & \frac{1}{9}={\beta }^2\\ & \beta =\frac{1}{3}\end{array}$$
3. Podstawiamy $\beta =\frac{1}{3}$ do pierwszego równania i wyznaczamy $Q_0$:
   $$2=Q_0\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}⟹Q_0=\frac{2}{81}$$
4. Obliczamy $Q(5)$:
   $$Q(5)=\frac{2}{81}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-5}=\frac{2}{81}\cdot 3^5=6$$
5. W chwili $t=5$ s w kondensatorze był zgromadzony ładunek $6$ milikulombów.

1. Przeglądamy wiersz $y$ w tabeli i szukamy największej wartości — jest nią $5$ (dla $x=2$), czyli odpowiedź D.
2. Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego $y=0$. W tabeli $y=0$ dla $x=4$, czyli odpowiedź C.

1. Z wykresu odczytujemy, że funkcja $f$ jest łamaną złożoną z dwóch odcinków: pierwszy prowadzi od punktu $(-1,4)$ do punktu $(1,0)$, drugi od punktu $(1,0)$ do punktu $(7,4)$.
2. Wyznaczamy wzór funkcji na pierwszym odcinku (wartość spada z $4$ do $0$, gdy $x$ rośnie o $2$, więc współczynnik kierunkowy jest równy $-2$):
   $$f(x)=-2(x-1)=-2x+2,x\in [-1,1]$$
3. Wyznaczamy wzór funkcji na drugim odcinku (wartość rośnie z $0$ do $4$, gdy $x$ rośnie o $6$, więc współczynnik kierunkowy jest równy $\frac{2}{3}$):
   $$f(x)=\frac{2}{3}(x-1),x\in [1,7]$$
4. Znajdujemy miejsce, w którym pierwszy odcinek przyjmuje wartość $2$:
   $$\begin{array}{rl}& -2x+2=2\\ & -2x=0\\ & x=0\end{array}$$
5. Znajdujemy miejsce, w którym drugi odcinek przyjmuje wartość $2$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{3}(x-1)=2\\ & x-1=3\\ & x=4\end{array}$$
6. Funkcja maleje od $4$ do $0$ na przedziale $[-1,1]$, a następnie rośnie od $0$ do $4$ na przedziale $[1,7]$. Wartości nie większe od $2$ funkcja przyjmuje dokładnie pomiędzy wyznaczonymi punktami, czyli dla $x\in [0,4]$.

1. Przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $4$ jednostki w lewo wzdłuż osi $Ox$ odpowiada podstawieniu $x+4$ w miejsce $x$ we wzorze funkcji, czyli $g(x)=f(x+4)$ — odpowiedź A.
2. Przesunięcie wzdłuż osi $Ox$ zmienia dziedzinę funkcji (przesuwa się ona o $4$ w lewo), ale nie zmienia zbioru wartości — wykresy $f$ i $g$ przyjmują dokładnie te same wartości $y$, tylko dla innych argumentów $x$. Zatem funkcje $f$ i $g$ mają takie same zbiory wartości — odpowiedź 2.

1. Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego $y=0$. Z tabeli odczytujemy, że $f(-1)=0$ oraz $f(1)=0$ — to dwa różne miejsca zerowe, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
2. Wykres jest symetryczny względem osi $Oy$, gdy $f(-x)=f(x)$ dla każdego $x$ z dziedziny. Sprawdzamy to dla $x=2$:
   $$f(-2)=-1\ne 3=f(2)$$
3. Wartości są różne, więc wykres funkcji $f$ NIE jest symetryczny względem osi $Oy$ — drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).