Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu i miara kąta AOB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek). Miara kąta BAC jest równa

Zadanie 17 - Matura podstawowa 2021 (maj) - Rozwiązanie

1 pkt

Prosta

k

jest styczna w punkcie

A

do okręgu o środku

O

. Punkt

B

leży na tym okręgu i miara kąta

A O B

jest równa

80°

. Przez punkty

O

B

poprowadzono prostą, która przecina prostą

k

w punkcie

C

(zobacz rysunek).

Miara kąta

B A C

jest równa

Poprawna odpowiedź

40°

Trójkąt $O A B$ jest równoramienny, bo $O A = O B$ (promienie okręgu). Kąt przy wierzchołku $O$ ma miarę $80°$ , więc kąty przy podstawie są równe:
$∠ O A B = ∠ O B A = \frac{180° - 80°}{2} = 50°$
Prosta $k$ jest styczna do okręgu w punkcie $A$ , więc promień $O A$ jest prostopadły do $k$ :
$∠ O A C = 90°$
Kąt $B A C$ to różnica kąta $O A C$ i kąta $O A B$ (punkt $B$ leży wewnątrz kąta $O A C$ ):
$∠ B A C = ∠ O A C - ∠ O A B = 90° - 50° = 40°$