Zbiór zadań

Znaleziono 50 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Podstawiamy $x=20$ do wzoru funkcji:
   $$T(20)=78\cdot 2^{-0,05\cdot 20}+22=78\cdot 2^{-1}+22$$
2. Obliczamy:
   $$78\cdot \frac{1}{2}+22=39+22=61$$

1. Podstawiamy $x=1$ do wzoru funkcji i korzystamy z warunku $f(1)=2$:
   $$\frac{1-k}{1^2+1}=2$$
2. Upraszczamy mianownik i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{1-k}{2}=2\\ & 1-k=4\\ & k=-3\end{array}$$

1. Odcinek poziomy wykresu zaczyna się w punkcie $x=-6$ (zamknięty, pełny punkt) i kończy w $x=-3$ (otwarty, puste kółko).
2. Od $x=-3$ (tu już zamknięty, bo funkcja przyjmuje w tym miejscu inną wartość) wykres rośnie aż do $x=2$ (otwarty, puste kółko na szczycie), a następnie maleje od $x=2$ (zamknięty) do $x=5$ (zamknięty, koniec wykresu).
3. Łącząc wszystkie odcinki bez przerw w dziedzinie, otrzymujemy:
   $$x\in [-6,5]$$

1. Dla $x\in [-4,-3)$ wykres jest odcinkiem poziomym, na którym $f(x)=2$.
2. Dla $x\in [-3,1]$ wykres jest rosnący, od wartości $f(-3)=-3$ do wartości $f(1)=1$.
3. Porównujemy wszystkie wartości osiągane w przedziale $[-4,1]$: największa z nich to $2$ (osiągana na odcinku poziomym), bo jest większa od $1$ (największej wartości na odcinku rosnącym).
   $${\max }_{[-4,1]}f=2$$

1. Odczytujemy przebieg funkcji na kolejnych odcinkach wykresu: na $[-6,-3)$ funkcja jest stała, na $[-3,2)$ jest rosnąca, a na $[2,5]$ jest malejąca — wykres opada od punktu $(2,5)$ do punktu $(5,3)$.
2. Zatem funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze:
   $$[2,5]$$

1. Odczytujemy dziedzinę z wykresu. Wykres funkcji $f$ składa się z dwóch fragmentów: od $x=-5$ do $x=-1$ oraz od $x=1$ do $x=5$. Wszystkie cztery krańce są zaznaczone otwartymi kółkami, więc są wykluczone z dziedziny:
   $$D_f=(-5,-1)\cup (1,5)$$
2. Odczytujemy zbiór wartości z wykresu. Na lewym fragmencie funkcja przyjmuje wszystkie wartości od $-3$ do $-1$ włącznie — obie te wartości są osiągane wewnątrz przedziału (w punktach $x=-4$ i $x=-3$, które należą do dziedziny), mimo że skrajne punkty wykresu tego fragmentu są wykluczone. Analogicznie prawy fragment przyjmuje wszystkie wartości od $1$ do $3$ włącznie:
   $$Z{W}_f=[-3,-1]\cup [1,3]$$
3. Zatem dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $(-5,-1)\cup (1,5)$ (odpowiedź F), a zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $[-3,-1]\cup [1,3]$ (odpowiedź A).

1. Wartości mniejsze od $-1$ funkcja $f$ przyjmuje wyłącznie na lewym fragmencie wykresu — wartości prawego fragmentu należą do przedziału $[1,3]$, więc są większe od $-1$.
2. Na lewym fragmencie funkcja jest stała i równa $-3$ dla $x$ od $-5$ do $-4$, a następnie rośnie od $-3$ do $-1$ dla $x$ od $-4$ do $-3$. Warunek $f(x)<-1$ jest więc spełniony dla wszystkich $x$ z dziedziny mniejszych od $-3$:
   $$x\in (-5,-3)$$
3. Punkt $x=-3$ odrzucamy, bo w nim $f(x)=-1$, więc nierówność ostra nie jest tam spełniona. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)<-1$ jest:
   $$x\in (-5,-3)$$

1. Odczytujemy z wykresu przebieg funkcji $f$: na przedziale $[-7,-5]$ funkcja jest stała (równa $4$), na przedziale $[-4,-1]$ również jest stała (równa $4$), na przedziale $[-1,4]$ funkcja maleje (od $4$ do $-1$), a na przedziale $[5,7]$ funkcja rośnie (od $1$ do $6$).
2. Jedynym przedziałem, w którym funkcja $f$ jest rosnąca, jest $[5,7]$.

1. Podstawiamy współrzędne punktu $A=(1,2)$ do wzoru funkcji, czyli obliczamy $f(1)$:
   $$f(1)=(m^2-3)\cdot 1^3-m^2+m+1=m^2-3-m^2+m+1=m-2$$
2. Ponieważ $f(1)=2$, otrzymujemy:
   $$m-2=2⟹m=4$$

1. Środkowy, rosnący fragment wykresu łączy punkty $(-4,-3)$ i $(3,4)$. Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:
   $$a=\frac{4-(-3)}{3-(-4)}=\frac{7}{7}=1$$
2. Wzór tego fragmentu to $f(x)=x+1$ dla $x\in [-4,3]$. Odczytujemy potrzebne wartości: dla $x=-3$ i $x=0$ korzystamy z tego wzoru, a dla $x=4$ funkcja jest już stała i równa $4$ (fragment poziomy od $x=3$ do $x=8$):
3. Obliczamy iloczyn:
   $$f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)=(-2)\cdot 1\cdot 4=-8$$

1. Odczytujemy z obu wykresów współrzędne charakterystycznych punktów (końce dziedziny i miejsca załamań):
   $$\begin{array}{rl}& f:(-4,1),(-2,-1),(0,2),(5,-3)\\ & g:(-6,1),(-4,-1),(-2,2),(3,-3)\end{array}$$
2. Każdy punkt wykresu $g$ powstaje z odpowiadającego punktu wykresu $f$ przez odjęcie $2$ od współrzędnej $x$, np. $(-4,1)\to (-6,1)$. Oznacza to przesunięcie wykresu $f$ o $2$ w lewo, czyli:
   $$g(x)=f(x+2)$$

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨-2,5)$. Wzór $g(x)=f(x-1)$ oznacza przesunięcie wykresu $f$ o $1$ w prawo, więc argument $x-1$ musi należeć do dziedziny $f$:
   $$\begin{array}{rl}& x-1\in ⟨-2,5)\\ & x\in ⟨-1,6)\end{array}$$