Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Spośród nierówności A–D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.
2
Z kolei 5−1>0, więc 5−1=5−1.
3
Dodajemy obie wartości bezwzględne.
(3−5)+(5−1)=2
4
20
24
100
B. 20
1
Rozwiązujemy równanie ∣x−6∣=4:
x−6=4⟹x1=10lubx−6=−4⟹x2=2
2
Obliczamy iloczyn:
x1⋅x2=10⋅2=20
(−14)
(−8)
3
8
B. (−8)
1
Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest równe 7 albo −7, więc rozwiązujemy dwa równania.
x+4=7x+4=−7x1=3x2=−11
2
Dodajemy oba rozwiązania.
x1+x2=3+(−11)=−8
B.
1
Nierówność ∣x−1∣≥3 oznacza, że liczba x−1 jest oddalona od zera o co najmniej 3, czyli spełnia jedną z dwóch nierówności:
x−1≥3lubx−1≤−3
2
Rozwiązujemy obie nierówności:
x−1≥3x≥4x−1≤−3x≤−2
3
Zbiorem rozwiązań jest suma obu przedziałów, z domkniętymi końcami (bo nierówność jest nieostra): (−∞,−2]∪[4,+∞). Na osi liczbowej odpowiada temu zamalowany obszar na zewnątrz [−2,4] z wypełnionymi (domkniętymi) kółkami w punktach −2 i 4 — czyli rysunek B.
2
3
5
7
C. 5
1
Nierówność z wartością bezwzględną rozbijamy na podwójną nierówność, a potem odejmujemy 1 od każdej strony.
−3<x+1−4<x<3<2
2
Tę nierówność spełnia pięć liczb całkowitych: −3, −2, −1, 0, 1.
9
10
20
21
A. 9
1
Wartość bezwzględna jest mniejsza od 15, gdy liczba pod nią leży między −15 a 15.
−15<x+5<15
2
Odejmujemy 5 od każdej strony nierówności.
−20<x<10
3
Liczby całkowite dodatnie z tego przedziału to 1,2,…,9, więc jest ich 9.
D.
1
Nierówność ∣x−5∣<2 oznacza, że liczba x−5 jest oddalona od zera o mniej niż 2, czyli spełnia podwójną nierówność:
−2<x−5<2
2
Dodajemy 5 do każdej z trzech części nierówności:
−2+5<x−5+5<2+53<x<7
3
Zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty (3,7). Na osi liczbowej odpowiada temu zamalowany obszar między 3 a 7 z niezamalowanymi (otwartymi) kółkami w tych punktach, czyli rysunek D.
∣x−3,5∣≥1,5
∣x−1,5∣≥3,5
∣x−3,5∣≤1,5
∣x−1,5∣≤3,5
B. ∣x−1,5∣≥3,5
1
Z rysunku odczytujemy, że zaznaczony zbiór to suma dwóch przedziałów domkniętych na zewnętrznych krańcach. Należą do niego wszystkie liczby nie większe od −2 oraz wszystkie liczby nie mniejsze od 5, czyli:
(−∞,−2]∪[5,+∞)
2
Nierówność postaci ∣x−c∣≥r opisuje zbiór liczb oddalonych od środka c o co najmniej r, czyli x≤c−r lub x≥c+r. Środek c to środek odcinka między −2 a 5, a r to odległość od środka do każdego z krańców:
c=2−2+5=1,5,r=5−1,5=3,5
3
Zatem zaznaczony zbiór jest zbiorem rozwiązań nierówności:
∣x−1,5∣≥3,5
∣x−2∣<5
∣x−2∣>5
∣x−5∣<2
∣x−5∣>2
A. ∣x−2∣<5
1
Środek zaznaczonego przedziału to średnia arytmetyczna jego końców:
2−3+7=2
2
Promień przedziału, czyli odległość końców od środka:
27−(−3)=5
3
Końce przedziału są zaznaczone kółkami niezamalowanymi (otwartymi), więc nierówność jest ostra. Zbiorem rozwiązań nierówności ∣x−2∣<5 jest przedział (−3,7), co zgadza się z rysunkiem.
∣x+2∣≤2
∣x−2∣≤2
∣x+2∣≥2
∣x−2∣≥2
C. ∣x+2∣≥2
1
Zaznaczony na osi zbiór to suma dwóch przedziałów, których końce (x=−4 oraz x=0) są równo odległe od liczby −2, a odległość ta wynosi 2.
2
Korzystamy z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej. Nierówność ∣x−a∣≥r opisuje zbiór punktów, których odległość od a jest co najmniej r, czyli x≤a−r lub x≥a+r. Tutaj a=−2 i r=2, więc pasuje to do nierówności ∣x−(−2)∣≥2, czyli ∣x+2∣≥2.
∣x+2∣≥2⟺x≤−4lubx≥0
3
Otrzymany zbiór rozwiązań pokrywa się z zaznaczonym na osi. Odpowiedź C.