Zbiór zadań

Znaleziono 9 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Rozwiązujemy równanie $|x-6|=4$:
   $$x-6=4⟹x_1=10\text{lub}x-6=-4⟹x_2=2$$
2. Obliczamy iloczyn:
   $$x_1\cdot x_2=10\cdot 2=20$$

1. Wartość bezwzględna $|x+4|=7$ oznacza, że wyrażenie pod modułem jest równe $7$ albo $-7$:
   $$\begin{array}{rl}& x+4=7\\ & x+4=-7\end{array}$$
2. Rozwiązujemy oba równania:
   $$x_1=3,x_2=-11$$
3. Obliczamy sumę rozwiązań:
   $$x_1+x_2=3+(-11)=-8$$

1. Nierówność $|x-1|\ge 3$ oznacza, że liczba $x-1$ jest oddalona od zera o co najmniej $3$, czyli spełnia jedną z dwóch nierówności:
   $$x-1\ge 3\text{lub}x-1\le -3$$
2. Rozwiązujemy obie nierówności:
   $$\begin{array}{rl}& x-1\ge 3\\ & x\ge 4\end{array}\begin{array}{rl}& x-1\le -3\\ & x\le -2\end{array}$$
3. Zbiorem rozwiązań jest suma obu przedziałów, z domkniętymi końcami (bo nierówność jest nieostra): $(-\infty ,-2]\cup [4,+\infty )$. Na osi liczbowej odpowiada temu zamalowany obszar na zewnątrz $[-2,4]$ z wypełnionymi (domkniętymi) kółkami w punktach $-2$ i $4$ — czyli rysunek B.

1. Nierówność z wartością bezwzględną rozbijamy na podwójną nierówność:
   $$-3<x+1<3$$
2. Odejmujemy $1$ od każdej strony:
   $$-4<x<2$$
3. Liczbami całkowitymi spełniającymi tę nierówność są $-3,-2,-1,0,1$ — jest ich pięć.

1. Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej: nierówność $|x+5|<15$ oznacza, że wyrażenie $x+5$ leży w przedziale $(-15,15)$:
   $$-15<x+5<15$$
2. Odejmujemy $5$ od każdej strony podwójnej nierówności:
   $$-20<x<10$$
3. Liczby całkowite dodatnie spełniające ten warunek to $1,2,3,\dots ,9$ — jest ich $9$.

1. Z rysunku odczytujemy, że zaznaczony zbiór to suma dwóch przedziałów domkniętych na zewnętrznych krańcach: wszystkie liczby nie większe od $-2$ oraz wszystkie liczby nie mniejsze od $5$, czyli:
   $$(-\infty ,-2]\cup [5,+\infty )$$
2. Nierówność postaci $|x-c|\ge r$ opisuje zbiór liczb oddalonych od środka $c$ o co najmniej $r$, czyli $x\le c-r$ lub $x\ge c+r$. Środek $c$ to środek odcinka między $-2$ a $5$, a $r$ to odległość od środka do każdego z krańców:
   $$c=\frac{-2+5}{2}=1,5,r=5-1,5=3,5$$
3. Zatem zaznaczony zbiór jest zbiorem rozwiązań nierówności:
   $$|x-1,5|\ge 3,5$$

1. Nierówność $|x-5|<2$ oznacza, że liczba $x-5$ jest oddalona od zera o mniej niż $2$, czyli spełnia podwójną nierówność:
   $$-2<x-5<2$$
2. Dodajemy $5$ do każdej z trzech części nierówności:
   $$\begin{gathered} -2+5<x-5+5<2+5 \\ 3<x<7 \end{gathered}$$
3. Zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty $(3,7)$. Na osi liczbowej odpowiada temu zamalowany obszar między $3$ a $7$ z niezamalowanymi (otwartymi) kółkami w tych punktach, czyli rysunek D.

1. Środek zaznaczonego przedziału to średnia arytmetyczna jego końców:
   $$\frac{-3+7}{2}=2$$
2. Promień przedziału, czyli odległość końców od środka:
   $$\frac{7-(-3)}{2}=5$$
3. Końce przedziału są zaznaczone kółkami niezamalowanymi (otwartymi), więc nierówność jest ostra. Zbiorem rozwiązań nierówności $|x-2|<5$ jest przedział $(-3,7)$, co zgadza się z rysunkiem.