Zbiór zadań

Znaleziono 158 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Kwadrat $AEGD$ ma wszystkie boki równe, więc jego bok jest równy przyprostokątnej $EG$ trójkąta $EFG$.
   $$AD=AE=EG=DG=6$$
2. Romb $FBCG$ ma wszystkie boki równe, więc jego bok jest równy bokowi $FG$ trójkąta $EFG$.
   $$BC=CG=GF=FB=10$$
3. Obliczamy długości boków $AB$ i $DC$ trapezu jako sumy odcinków, na które je podzielono.
   $$\begin{array}{rl}& AB=AE+EF+FB=6+8+10=24\\ & DC=DG+GC=6+10=16\end{array}$$
4. Obliczamy obwód trapezu jako sumę długości wszystkich jego boków.
   $$Obw=AB+BC+CD+DA=24+10+16+6=56$$

1. Z warunku $|AB|=2\cdot |CD|$ oraz $AB\parallel CD$ wynika, że trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne (kąty wierzchołkowe przy $E$ oraz kąty naprzemianległe przy $AB\parallel CD$) w skali $2:1$. Przekątne dzielą się więc w punkcie $E$ w tym samym stosunku.
   $$|AE|:|EC|=|BE|:|ED|=|AB|:|CD|=2:1$$
2. Trójkąty $AED$ i $CED$ mają wspólny wierzchołek $D$, a ich podstawy $AE$ i $EC$ leżą na jednej prostej $AC$, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi tych podstaw.
   $$\frac{P_{AED}}{P_{CED}}=\frac{|AE|}{|EC|}=2$$
3. Obliczamy szukane pole, korzystając z danego pola trójkąta $CDE$.
   $$P_{AED}=2\cdot P_{CED}=2\cdot 2=4$$

1. Obliczamy długość boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości. Skala $1:20$ oznacza, że rzeczywista długość jest $20$ razy większa niż długość na rysunku:
   $$3\text{ cm}\cdot 20=60\text{ cm}$$
2. Obliczamy pole małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:
   $$P_{małej}=60\text{ cm}\cdot 60\text{ cm}=3600{\text{ cm}}^2$$
3. Obliczamy pole dużej prostokątnej tablicy w rzeczywistości:
   $$P_{du\dot{z}ej}=240\text{ cm}\cdot 90\text{ cm}=21600{\text{ cm}}^2$$
4. Obliczamy, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy:
   $$\frac{P_{du\dot{z}ej}}{P_{małej}}=\frac{21600{\text{ cm}}^2}{3600{\text{ cm}}^2}=6$$
5. Pole dużej tablicy jest $6$ razy większe od pola małej tablicy.

1. Kąt środkowy $AOB$ jest oparty na tym samym łuku $AB$ co kąt wpisany $BCA$, więc jest od niego dwa razy większy:
   $$\angle AOB=2\cdot 50°=100°$$
2. Trójkąt $AOB$ jest równoramienny, bo $OA=OB$ jako promienie okręgu, więc kąty przy podstawie $AB$ są równe. Korzystamy z sumy kątów w trójkącie:
   $$\angle ABO=\frac{180°-100°}{2}=40°$$

1. Ponieważ $10^2+24^2=26^2$, trójkąt jest prostokątny, a bok $26$ jest przeciwprostokątną. Obliczamy jego pole:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120$$
2. Obliczamy połowę obwodu trójkąta:
   $$s=\frac{10+24+26}{2}=30$$
3. Promień okręgu wpisanego w trójkąt to iloraz pola i połowy obwodu:
   $$r=\frac{P}{s}=\frac{120}{30}=4$$

1. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży na środku przeciwprostokątnej, więc przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu. Promień jest zatem równy połowie przeciwprostokątnej:
   $$R=\frac{26}{2}=13$$

1. Z warunku $|AB|=2\cdot |CD|$ oraz $AB\parallel CD$ wynika, że trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne w skali $2:1$, więc przekątne dzielą się w punkcie $E$ w stosunku $2:1$.
   $$|AE|:|EC|=|BE|:|ED|=|AB|:|CD|=2:1$$
2. Trójkąty $ABE$ i $CBE$ mają wspólny wierzchołek $B$, a ich podstawy $AE$ i $EC$ leżą na jednej prostej $AC$, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi tych podstaw.
   $$\frac{P_{ABE}}{P_{CBE}}=\frac{|AE|}{|EC|}=2$$
3. Obliczamy szukane pole, korzystając z danego pola trójkąta $BCE$.
   $$P_{ABE}=2\cdot P_{CBE}=2\cdot 4=8$$

1. Trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne, z odpowiedniością wierzchołków $A\leftrightarrow B$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow A$ (wynika ona z kolejności liter w nazwach trójkątów), więc odpowiednie boki są proporcjonalne:
   $$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{DA}=\frac{CA}{AB}$$
2. Korzystamy z proporcji łączącej boki $AB$, $BD$ oraz $CA$, $AB$, podstawiając długości boków trójkąta $ABC$:
   $$\frac{AB}{BD}=\frac{CA}{AB}⟹\frac{3}{BD}=\frac{4}{3}$$
3. Wyznaczamy $BD$:
   $$BD=\frac{3\cdot 3}{4}=\frac{9}{4}=2,25$$