Zadanie 26 - Matura podstawowa 2022 (grudzień) - Rozwiązanie

1 pkt

Dany jest trapez

A B C D

, w którym

A B ∥ C D

oraz przekątne

A C

B D

przecinają się w punkcie

O

(zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa

12

. Obwód trójkąta

A B O

jest równy

39

, a obwód trójkąta

C D O

jest równy

13

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość trójkąta

A B O

poprowadzona z punktu

O

jest równa

Poprawna odpowiedź

9

Ponieważ $A B ∥ C D$ , trójkąty $A B O$ i $C D O$ są podobne (kąty naprzemianległe przy przekątnych, cecha kkk).
Skala podobieństwa jest równa stosunkowi obwodów tych trójkątów:
$k = \frac{O b w _{A B O}}{O b w _{C D O}} = \frac{39}{13} = 3$
Wysokości trójkątów $A B O$ i $C D O$ poprowadzone z punktu $O$ pozostają w tej samej skali $3 : 1$ i w sumie dają wysokość trapezu równą $12$ . Oznaczmy wysokość trójkąta $C D O$ przez $h$ - wysokość trójkąta $A B O$ jest wtedy równa $3 h$ :
$h + 3 h = 12 4 h = 12 h = 3$
Wysokość trójkąta $A B O$ poprowadzona z punktu $O$ jest równa:
$3 h = 3 \cdot 3 = 9$

Podobne zadania z działu planimetria