Zadanie 25.2 - Matura podstawowa 2022 (grudzień) - Rozwiązanie

1 pkt

Dany jest sześciokąt foremny

A B C D E F

o polu równym

63

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka

A E

jest równa

Poprawna odpowiedź

23

Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ wyraża się wzorem $P = \frac{3 3}{2} a^{2}$ . Wyznaczamy długość boku:
$\frac{3 3}{2} a^{2} = 63 a^{2} = 4 a = 2$
Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę $120°$ . W trójkącie $A F E$ mamy $∣ A F ∣ = ∣ F E ∣ = a$ oraz $∠ A F E = 120°$ , więc z twierdzenia cosinusów obliczamy $∣ A E ∣$ :
$A E^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 a^{2} cos 12 0^{\circ} A E^{2} = 2 a^{2} - 2 a^{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = 3 a^{2} A E = a 3 = 23$

Podobne zadania z działu planimetria