Zadanie 23 - Matura podstawowa 2023 (grudzień) - Rozwiązanie

1 pkt

W rombie

A B C D

dłuższa przekątna

A C

ma długość

12

i tworzy z bokiem

A B

kąt o mierze

30°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole rombu

A B C D

jest równe

Poprawna odpowiedź

243

Przekątna $A C$ rombu dzieli kąt przy wierzchołku $A$ na połowy, więc skoro kąt $B A C = 30°$ , to trójkąt $A B C$ jest równoramienny ( $A B = B C$ jako boki rombu) z kątami przy podstawie $A C$ równymi $30°$ zarówno przy wierzchołku $A$ , jak i przy wierzchołku $C$ .
Niech $M$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $B$ na przekątną $A C$ . Jako środek podstawy trójkąta równoramiennego $M$ dzieli $A C$ na połowy:
$∣ A M ∣ = \frac{12}{2} = 6$
Wysokość $B M$ obliczamy z trójkąta prostokątnego $A B M$ :
$∣ B M ∣ = ∣ A M ∣ \cdot tan (30°) = 6 \cdot \frac{3}{3} = 23$
Przekątna $A C$ dzieli romb na dwa przystające trójkąty $A B C$ i $A C D$ , więc pole rombu jest dwa razy większe od pola trójkąta $A B C$ :
$P = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot ∣ A C ∣ \cdot ∣ B M ∣ = 12 \cdot 23 = 243$

Podobne zadania z działu planimetria