Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok AC jest przeciwprostokątną oraz |BC| = 2 i |AC| = 2√10. Oznaczmy kąt BCA przez γ (zobacz rysunek). Sinus kąta γ jest równy

Zadanie 16 - Matura podstawowa 2026 (maj, F. 2015) - Rozwiązanie

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

A C

jest przeciwprostokątną oraz

∣ B C ∣ = 2

∣ A C ∣ = 210

. Oznaczmy kąt

B C A

przez

γ

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

γ

jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{3}{10}

Trójkąt $A B C$ jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku $B$ (bo $A C$ jest przeciwprostokątną). Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku $A B$ .
$∣ A B ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} = ∣ A C ∣^{2} ∣ A B ∣^{2} = (210)^{2} - 2^{2} = 40 - 4 = 36 ∣ A B ∣ = 6$
Kąt $γ$ leży przy wierzchołku $C$ , więc bokiem leżącym naprzeciw niego jest $A B$ , a przeciwprostokątną jest $A C$ . Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.
$sin γ = \frac{∣ A B ∣}{∣ A C ∣} = \frac{6}{2 10} = \frac{3}{10}$