Informacja do zadań 19.–20. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD takich, że |AB| = 2 · |CD|. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek). Pole trójkąta CDE jest równe 2, a pole trójkąta BCE jest równe 4. Pole trójkąta AED jest równe

Zadanie 19, matura podstawowa sierpień 2025 (F. 2015)

1 pkt

Informacja do zadań 19.–20.
Dany jest trapez

A B C D

o podstawach

A B

C D

takich, że

∣ A B ∣ = 2 \cdot ∣ C D ∣

. Przekątne

A C

B D

przecinają się w punkcie

E

(zobacz rysunek). Pole trójkąta

C D E

jest równe

2

, a pole trójkąta

B C E

jest równe

4

.

Pole trójkąta

A E D

jest równe

4

1
Kąty przy $E$ są wierzchołkowe, a kąty $B A E$ i $D C E$ są naprzemianległe przy równoległych podstawach, więc trójkąty $A B E$ i $C D E$ są podobne w skali $∣ A B ∣ : ∣ C D ∣ = 2$ . Przekątne dzielą się więc w punkcie $E$ w stosunku $2 : 1$ .
$∣ A E ∣ : ∣ E C ∣ = ∣ B E ∣ : ∣ E D ∣ = ∣ A B ∣ : ∣ C D ∣ = 2 : 1$
2
Trójkąty $A E D$ i $C E D$ mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $D$ na prostą $A C$ , więc ich pola mają się do siebie tak jak podstawy $A E$ i $E C$ .
$\frac{P _{A E D}}{P _{C E D}} = \frac{∣ A E ∣}{∣ E C ∣} = 2$
3
Wstawiamy pole trójkąta $C D E$ z treści zadania.
$P_{A E D} = 2 \cdot P_{C E D} = 2 \cdot 2 = 4$