Niech L = log_(√2) 2 · log₂ √3 · log_(√3) 4. Wtedy

Zadanie 1, matura rozszerzona kwiecień 2020

1 pkt

Niech

L = lo g_{2} 2 \cdot lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

L = 4

Obliczamy pierwszy logarytm: do jakiej potęgi trzeba podnieść $2$ , żeby otrzymać $2$ ?
$lo g_{2} 2 = lo g_{2} (2)^{2} = 2$
W drugim i trzecim logarytmie korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi oraz ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.
$lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} lo g_{2} 3 lo g_{3} 4 = \frac{lo g _{3} 4}{lo g _{3} 3} = \frac{lo g _{3} 4}{\frac{1}{2}} = 2 lo g_{3} 4 = 4 lo g_{3} 2$
Mnożymy trzy otrzymane liczby i korzystamy z tego, że $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 1$ .
$L = 2 \cdot \frac{1}{2} lo g_{2} 3 \cdot 4 lo g_{3} 2 = 4 \cdot lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 4$
Otrzymana wartość odpowiada odpowiedzi D.