Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R, takie, że (|AP|)/(|PB|) = (|CR|)/(|RD|) = 3/2 (zobacz rysunek). Pole czworokąta APCR jest równe

Zadanie 22 - Matura podstawowa 2020 (czerwiec) - Rozwiązanie

1 pkt

Pole prostokąta

A B C D

jest równe

90

. Na bokach

A B

C D

wybrano – odpowiednio – punkty

P

R

, takie, że

\frac{∣ A P ∣}{∣ P B ∣} = \frac{∣ C R ∣}{∣ R D ∣} = \frac{3}{2}

(zobacz rysunek).
Pole czworokąta

A P C R

jest równe

Poprawna odpowiedź

54

Z proporcji $\frac{∣ A P ∣}{∣ P B ∣} = \frac{3}{2}$ wynika, że $∣ A P ∣$ to $3$ z $5$ równych części boku $A B$ . Tak samo $∣ C R ∣$ to $3$ z $5$ części boku $C D$ .
$∣ A P ∣ = ∣ C R ∣ = \frac{3}{5} ∣ A B ∣$
Odcinki $A P$ i $C R$ są równoległe i równej długości, więc czworokąt $A P C R$ jest równoległobokiem. Jego podstawą jest $C R$ , a wysokością bok $A D$ prostokąta.
Liczymy pole równoległoboku.
$P_{A P C R} = ∣ C R ∣ \cdot ∣ A D ∣ P_{A P C R} = \frac{3}{5} ∣ A B ∣ \cdot ∣ A D ∣ = \frac{3}{5} \cdot 90 = 54$