Zadanie 20 - Matura podstawowa 2021 (czerwiec) - Rozwiązanie

1 pkt

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę

120°

, a najdłuższy bok ma długość

12

(zobacz rysunek).

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

Poprawna odpowiedź

23

Kąt $120°$ leży między ramionami trójkąta, więc kąty przy najdłuższym boku (podstawie) są równe i wynoszą:
$β = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$
Wysokość opuszczona na najdłuższy bok jest najkrótsza spośród wysokości trójkąta, bo przy stałym polu $P = \frac{1}{2} a h_{a}$ im dłuższy bok $a$ , tym krótsza odpowiadająca mu wysokość $h_{a}$ . Ta wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne, w których połowa podstawy ( $6$ ) sąsiaduje z kątem $30°$ .
W powstałym trójkącie prostokątnym korzystamy z tangensa kąta $30°$ :
$tg 30° = \frac{h}{6}$
Wyznaczamy wysokość $h$ :
$h = 6 \cdot tg 30° = 6 \cdot \frac{3}{3} = 23$

Podobne zadania z działu planimetria