Zbiór zadań z matematyki, strona 2

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej liczby rzeczywistej

b

takiej, że

b \neq = a

, prawdziwa jest nierówność

a^{2} + 3 b^{2} + 4 > 2 a + 6 b

Poprawna odpowiedź

Nierówność

(a - 1)^{2} + 3 (b - 1)^{2} > 0

jest prawdziwa dla

b \neq = a

, więc wyjściowa nierówność również jest prawdziwa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
$a^{2} + 3 b^{2} + 4 a^{2} - 2 a + 3 b^{2} - 6 b + 4 > 2 a + 6 b > 0$

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + y^{2} + 5 > 2 x + 4 y

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

oraz dla każdej liczby rzeczywistej

y

, spełniających warunek

x + y \geq 1

, prawdziwa jest nierówność

x^{3} + 2 x y + y^{3} \geq x^{2} + x y (x + y) + y^{2}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

2 x > y

, spełniona jest nierówność

7 x^{3} + 4 x^{2} y \geq y^{3} + 2 x y^{2} - x^{3}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

, spełniona jest nierówność

x^{4} + y^{4} > x y (x^{2} + y^{2})

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

prawdziwa jest nierówność

(\frac{1}{5} x + \frac{4}{5} y)^{2} < \frac{x ^{2} + 4 y ^{2}}{5}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = a

, spełniona jest nierówność

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} > (\frac{a + b}{2})^{2}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

różnej od

0

i każdej liczby rzeczywistej

b

różnej od

0

spełniona jest nierówność

2 a^{2} - 4 ab + 5 b^{2} > 0

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

większej od

2

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2} - 2 x - 4 > 0

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych

a

,

b

i

c

takich, że

\frac{a + b}{2} > c

i

\frac{b + c}{2} > a

, prawdziwa jest nierówność

\frac{a + c}{2} < b

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb

a

,

b

i

c

takich, że

a < b

, spełniona jest nierówność

\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

spełniona jest nierówność

b (5 b - 4 a) + a^{2} \geq 0

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Dowody algebraiczne

2 pkt

Funkcja kwadratowa

f (x) = x^{2} + b x + c

nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że

1 + c > b

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Dowody algebraiczne

3 pkt

Liczby dodatnie

a

i

b

spełniają równość

a^{2} + 2 a = 4 b^{2} + 4 b

. Wykaż, że

a = 2 b

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Dowody algebraiczne

3 pkt

Liczby dodatnie

a

i

b

spełniają równość

a^{2} + 2 a = 4 b^{2} + 4 b

. Wykaż, że

a = 2 b

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki