Zbiór zadań z matematyki

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej liczby rzeczywistej

b

prawdziwa jest nierówność

a (a - b) \geq b (a - 3 b)

Poprawna odpowiedź

Nierówność

a (a - b) \geq b (a - 3 b)

jest równoważna nierówności

(a - b)^{2} + 2 b^{2} \geq 0

, która jest prawdziwa jako suma dwóch liczb nieujemnych.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny: przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i wymnażamy nawiasy.
$a (a - b) \geq b (a - 3 b) a^{2} - ab \geq ab - 3 b^{2} a^{2} - 2 ab + 3 b^{2} \geq 0$

Zadanie 27 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 0

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} + 2 y^{2} > 2 x y

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 2

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + y^{2} > 4 (x + y - 2)

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = 2 y

, prawdziwa jest nierówność

x^{2} + 4 y^{2} - 4 > 4 (x y - 1)

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

, prawdziwa jest nierówność

(3 x + y) (x + 3 y) > 16 x y

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + 49 y^{2} > 2 (x + 7 y - 1)

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + y^{2} + 5 > 2 x + 4 y

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej liczby rzeczywistej

b

takiej, że

b \neq = a

, prawdziwa jest nierówność

a^{2} + 3 b^{2} + 4 > 2 a + 6 b

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

y

takiej, że

x > 2 y

, prawdziwa jest nierówność

x^{2} + 3 x y - 10 y^{2} > 0

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

prawdziwa jest nierówność

(\frac{1}{5} x + \frac{4}{5} y)^{2} < \frac{x ^{2} + 4 y ^{2}}{5}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = a

, spełniona jest nierówność

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} > (\frac{a + b}{2})^{2}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

różnej od

0

i każdej liczby rzeczywistej

b

różnej od

0

spełniona jest nierówność

2 a^{2} - 4 ab + 5 b^{2} > 0

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych

a

,

b

i

c

takich, że

\frac{a + b}{2} > c

i

\frac{b + c}{2} > a

, prawdziwa jest nierówność

\frac{a + c}{2} < b

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb

a

,

b

i

c

takich, że

a < b

, spełniona jest nierówność

\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

spełniona jest nierówność

b (5 b - 4 a) + a^{2} \geq 0

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki