Zadanie 31 - Matura podstawowa 2021 (marzec) - Rozwiązanie

2 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości

a

b

. Punkt

O

leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że promień

r

tego okręgu jest równy

\frac{ab}{a + b}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P_{A B C} = \frac{1}{2} (a + b) \cdot r = \frac{1}{2} ab

, stąd

r = \frac{ab}{a + b}

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku: kąt prosty jest w wierzchołku $A$ , $∣ A C ∣ = a$ , $∣ A B ∣ = b$ , punkt $O$ leży na przeciwprostokątnej $B C$ . Odcinek $A O$ dzieli trójkąt $A B C$ na trójkąty $A B O$ i $A O C$ , więc:
$P_{A B C} = P_{A B O} + P_{A O C}$

Pozostałe kroki rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium

Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu dowodzenie