Zbiór zadań z matematyki

3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq \frac{x}{y ^{2}} + \frac{y}{x ^{2}}

Poprawna odpowiedź

Nierówność jest równoważna

(x + y) (x - y)^{2} \geq 0

, co jest zawsze prawdziwe dla

x, y > 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Ponieważ $x > 0$ i $y > 0$ , to $x^{2} y^{2} > 0$ . Mnożymy obie strony nierówności $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq \frac{x}{y ^{2}} + \frac{y}{x ^{2}}$ przez $x^{2} y^{2}$ :

Zadanie 4 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x y + x + y \leq x^{2} + y^{2} + 1

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej liczby rzeczywistej

b

prawdziwa jest nierówność

a (a - b) \geq b (a - 3 b)

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że jeżeli

a = lo g_{2} 14

oraz

b = lo g_{2} 27

, to

lo g_{7} 54 = \frac{b + 2}{2 a - 2}

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = \frac{1}{2} a

, prawdziwa jest nierówność

(a + 2 b)^{3} > 8 a^{2} b + 16 a b^{2}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = \frac{1}{2} a

, prawdziwa jest nierówność

(a + 2 b)^{3} > 8 a^{2} b + 16 a b^{2}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 0

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} + 2 y^{2} > 2 x y

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 2

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + y^{2} > 4 (x + y - 2)

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

a

i każdej liczby dodatniej

b

takich, że

a + b = 1

, prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} \geq \frac{4}{3}

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

, prawdziwa jest nierówność

(3 x + y) (x + 3 y) > 16 x y

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = 2 y

, prawdziwa jest nierówność

x^{2} + 4 y^{2} - 4 > 4 (x y - 1)

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + 49 y^{2} > 2 (x + 7 y - 1)

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Dowody algebraiczne

3 pkt

Liczby rzeczywiste

x

oraz

y

spełniają jednocześnie równanie

x + y = 4

i nierówność

x^{3} - x^{2} y \leq x y^{2} - y^{3}

.

Wykaż, że

x = 2

oraz

y = 2

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

a

prawdziwa jest nierówność

a^{2} + \frac{16}{a} \geq 12

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + y^{2} + 5 > 2 x + 4 y

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki