Zbiór zadań z matematyki

2 pkt

Wykaż, że liczba

250 1^{4} - 249 9^{4}

jest podzielna przez

10000

.

Poprawna odpowiedź

250 1^{4} - 249 9^{4} = 10000 \cdot (250 1^{2} + 249 9^{2})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zapisujemy różnicę czwartych potęg jako różnicę kwadratów i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :
$250 1^{4} - 249 9^{4} = (250 1^{2})^{2} a^{2} - (249 9^{2})^{2} b^{2} = (250 1^{2} - 249 9^{2}) a - b \cdot (250 1^{2} + 249 9^{2}) a + b$

Zadanie 5 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n \geq 0

liczba

7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2}

jest podzielna przez

19

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n

liczba

7 n^{2} + 21 n

jest podzielna przez

14

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej

n

liczba

3 n^{2} + 2 n + 7

jest podzielna przez

4

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Dowody podzielności

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

a

, która przy dzieleniu przez

5

daje resztę

1

, i dla każdej liczby całkowitej

b

, która przy dzieleniu przez

5

daje resztę

4

, liczba

a^{2} - b^{2}

jest podzielna przez

5

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że liczba

8^{50} - 2^{145}

jest podzielna przez

31

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że liczba

2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24}

jest podzielna przez

21

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}

przy dzieleniu przez

3

daje resztę

2

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

(2 n + 5)^{2} + 3

jest podzielna przez

4

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

5 n^{3} - 5 n

jest podzielna przez

30

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

k

reszta z dzielenia liczby

49 k^{2} + 7 k - 2

przez

7

jest równa

5

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

(2 n + 1)^{2} - 1

jest podzielna przez

8

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

3 n^{3} + 18 n^{2} + 15 n

jest podzielna przez

6

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej

n

liczba

3 n^{2} + 4 n + 1

jest podzielna przez

4

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n

liczba

5 n^{2} + 15 n

jest podzielna przez

10

.

Poprawna odpowiedź

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki