Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC, takie że |∠ ADB| = 20° i |∠ DBC| = 40° (zobacz rysunek). Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K. Miara kąta DKC jest równa

Zadanie 19 - Matura podstawowa 2023 (czerwiec, F. 2015) - Rozwiązanie

1 pkt

Na łukach

A B

C D

okręgu są oparte kąty wpisane

A D B

D B C

, takie że

∣∠ A D B ∣ = 20°

∣∠ D B C ∣ = 40°

(zobacz rysunek). Cięciwy

A C

B D

przecinają się w punkcie

K

.

Miara kąta

D K C

jest równa

Poprawna odpowiedź

60°

Kąt wpisany $∠ A D B = 20°$ jest oparty na łuku $A B$ . Miara łuku, na którym oparty jest kąt wpisany, jest dwa razy większa od tego kąta, więc łuk $A B$ ma miarę $40°$ .
$ł uk A B = 2 \cdot 20° = 40°$
Analogicznie kąt wpisany $∠ D B C = 40°$ jest oparty na łuku $D C$ , więc łuk $D C$ ma miarę $80°$ .
$ł uk D C = 2 \cdot 40° = 80°$
Kąt między cięciwami przecinającymi się wewnątrz okręgu jest równy połowie sumy miar łuków leżących między jego ramionami i ramionami kąta do niego wierzchołkowego - tu są to łuki $D C$ i $A B$ :
$∠ D K C = \frac{80° + 40°}{2} = 60°$