Zadanie 11, matura rozszerzona maj 2023 (F. 2015)

4 pkt

Określamy kwadraty

K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots

następująco:

$K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$
$K_{2}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$
$K_{3}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{2}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej

n \geq 2

$K_{n}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n - 1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$ .

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny.
Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Poprawna odpowiedź

\frac{8 ( 4 + 10 ) a}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Wprowadzamy oznaczenia:
- $a_{i}$ - długość boku kwadratu $K_{i}$
- $L_{i}$ - obwód kwadratu $K_{i}$
- $L$ - suma obwodów wszystkich kwadratów

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

Podobne zadania z działu ciągi

Wszystkie zadania z działu