Zadanie 9, matura rozszerzona maj 2024 (F. 2015)

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{3} - 3 x + 2}{x}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od zera. Punkt

P

, o pierwszej współrzędnej równej

2

, należy do wykresu funkcji

f

. Prosta o równaniu

y = a x + b

jest styczna do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

.
Oblicz współczynniki

a

oraz

b

w równaniu tej stycznej.

Poprawna odpowiedź

a = \frac{7}{2}

b = - 5

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Liczymy pochodną funkcji $f$ ze wzoru na pochodną ilorazu.
$f^{'} (x) = \frac{( 3 x ^{2} - 3 ) \cdot x - ( x ^{3} - 3 x + 2 ) \cdot 1}{x ^{2}} f^{'} (x) = \frac{2 x ^{3} - 2}{x ^{2}}$
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o pierwszej współrzędnej $2$ jest równy wartości pochodnej w tym punkcie.
$a = f^{'} (2) = \frac{2 \cdot 8 - 2}{4} = \frac{7}{2}$
Punkt $P$ leży na wykresie, więc jego druga współrzędna to $f (2) = \frac{8 - 6 + 2}{2} = 2$ . Styczna przechodzi przez $P$ , więc podstawiamy współrzędne $P$ do równania $y = \frac{7}{2} x + b$ i wyznaczamy $b$ .
$2 = \frac{7}{2} \cdot 2 + b 2 = 7 + b b = - 5$

Podobne zadania z działu pochodne