Zadanie 16.1, matura rozszerzona maj 2024 (F. 2015)

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

3456

, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż

83

.

Wykaż, że pole

P

powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

Poprawna odpowiedź

P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Wprowadzamy oznaczenia:
- $a$ - długość krawędzi podstawy graniastosłupa,
- $H$ - wysokość graniastosłupa.
Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$ , więc jego pole to $\frac{a ^{2} 3}{4}$ . Z objętości $3456$ wyznaczamy $H$ .
$3456 = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H H = \frac{13824}{a ^{2} 3} = \frac{4608 3}{a ^{2}}$
Pole powierzchni całkowitej to dwie podstawy i trzy prostokątne ściany boczne o wymiarach $a \times H$ . Podstawiamy $H$ i upraszczamy.
$P = 2 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} + 3 a H P = \frac{a ^{2} 3}{2} + 3 a \cdot \frac{4608 3}{a ^{2}} P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}$

Podobne zadania z działu geometria przestrzenna