Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 2x³ -… - Matura rozszerzona czerwiec 2023 (F. 2015), zadanie 6, rozwiązanie

Zadanie 6, matura rozszerzona czerwiec 2023 (F. 2015)

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9 x

dla każdego

x \in R

.
Punkt

P = (x_{0}, 18)

należy do wykresu funkcji

f

.
Oblicz

x_{0}

oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

Poprawna odpowiedź

x_{0} = 2

y = 17 x - 16

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Punkt $P$ leży na wykresie, więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji. Podstawiamy $y = 18$ i przenosimy wszystko na jedną stronę.
$18 = 2 x_{0}^{3} - 4 x_{0}^{2} + 9 x_{0} 2 x_{0}^{3} - 4 x_{0}^{2} + 9 x_{0} - 18 = 0$
Rozkładamy wielomian na czynniki metodą grupowania wyrazów.
$2 x_{0}^{2} (x_{0} - 2) + 9 (x_{0} - 2) = 0 (2 x_{0}^{2} + 9) (x_{0} - 2) = 0$
Wyrażenie $2 x_{0}^{2} + 9$ jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej, więc nie może być równe $0$ . Zostaje drugi czynnik.
$x_{0} - 2 = 0 ⟹ x_{0} = 2$
Liczymy pochodną funkcji $f$ .
$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 8 x + 9$
Współczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej w punkcie $x_{0} = 2$ .
$a = f^{'} (2) = 6 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 9 = 17$
Styczna ma postać $y = 17 x + b$ i przechodzi przez punkt $P = (2, 18)$ . Z tego liczymy $b$ .
$18 = 17 \cdot 2 + b b = - 16$
Równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$ :
$y = 17 x - 16$

Zadanie 6, matura rozszerzona czerwiec 2023 (F. 2015)