Zadanie 13, matura rozszerzona czerwiec 2023 (F. 2015)

5 pkt

Czworokąt wypukły

A B C D

jest wpisany w okrąg o promieniu

4

. Kąty

B A D

B C D

są proste (zobacz rysunek). Przekątne

A C

B D

tego czworokąta przecinają się w punkcie

E

tak, że

∣ B E ∣ = 3 \cdot ∣ D E ∣

oraz

∣ B D ∣ = 2 \cdot ∣ A E ∣

.

Oblicz długości boków czworokąta

A B C D

Poprawna odpowiedź

∣ A B ∣ = 210, ∣ B C ∣ = 36, ∣ C D ∣ = 10, ∣ A D ∣ = 26

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Trójkąty $A B D$ i $B C D$ są prostokątne, więc ich wspólna przeciwprostokątna $B D$ jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie. Stąd $∣ B D ∣ = 8$ . Z warunków zadania wyznaczamy pozostałe odcinki.
$∣ B D ∣ = 2 \cdot 4 = 8 ∣ A E ∣ = \frac{1}{2} \cdot ∣ B D ∣ = 4 ∣ D E ∣ + 3 \cdot ∣ D E ∣ = 8 4∣ D E ∣ = 8 ∣ D E ∣ = 2, ∣ B E ∣ = 3 \cdot 2 = 6$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu planimetria