Dany jest prostokąt ABCD, w którym |AB| = 2·… - Matura rozszerzona czerwiec 2025, zadanie 4, rozwiązanie

Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2025

3 pkt

Dany jest prostokąt

A B C D

, w którym

∣ A B ∣ = 2 \cdot ∣ A D ∣

. Na bokach

A B

B C

C D

oraz

D A

tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio –

K

L

M

oraz

N

(przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta

A B C D

). Czworokąt

K L M N

jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość

L M

tego trapezu jest równoległa do przekątnej

B D

prostokąta.

Wykaż, że stosunek pola trójkąta

M D N

do pola trójkąta

K B L

jest równy

16

Poprawna odpowiedź

\frac{P _{M D N}}{P _{K B L}} = 16

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Oznaczmy $a = ∣ A D ∣$ , wtedy $∣ A B ∣ = 2 a$ . Kąty $∠ D M N$ i $∠ B K L$ są kątami naprzemianległymi przy prostych równoległych $M N$ i $K L$ (to boki trapezu $K L M N$ ), więc mają równe miary. Ponadto $∠ M D N = ∠ K B L = 90°$ , bo to kąty prostokąta $A B C D$ przy wierzchołkach $D$ i $B$ . Zatem trójkąty prostokątne $M D N$ i $K B L$ są podobne (cecha kkk podobieństwa trójkątów), przy czym wierzchołek $D$ odpowiada wierzchołkowi $B$ , a wierzchołek $N$ odpowiada wierzchołkowi $L$ .

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2025