Zadanie 35 - Matura podstawowa 2023 (maj, F. 2015) - Rozwiązanie

2 pkt

Ze zbioru ośmiu liczb

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez

15

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{3}{32}

Losowanie jest dwuetapowe, ze zwracaniem, ze zbioru $8$ -elementowego, więc liczba wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi:
$∣Ω∣ = 8 \cdot 8 = 64$
Iloczyn jest podzielny przez $15 = 3 \cdot 5$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielny jednocześnie przez $3$ i przez $5$ . Jedyną liczbą w zbiorze podzielną przez $5$ jest $5$ , więc jeden z losowanych czynników musi być równy $5$ , a drugi musi być podzielny przez $3$ - w zbiorze są to liczby $3, 6, 9$ . Wypisujemy wszystkie sprzyjające pary uporządkowane:
- $(3, 5)$ i $(5, 3)$ - iloczyn $15$
- $(6, 5)$ i $(5, 6)$ - iloczyn $30$
- $(5, 9)$ i $(9, 5)$ - iloczyn $45$
$∣ A ∣ = 6$
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ :
$P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$

Podobne zadania z działu prawdopodobieństwo