Zadanie 28, matura podstawowa czerwiec 2020 (F. 2005)

2 pkt

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych

a

b

prawdziwa jest nierówność

a (a - 2 b) + 2 b^{2} > 0

Poprawna odpowiedź

Nierówność

a (a - 2 b) + 2 b^{2} > 0

jest równoważna nierówności

(a - b)^{2} + b^{2} > 0

, prawdziwej dla

a \neq = b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Przekształcamy nierówność równoważnie.
$a^{2} - 2 ab + 2 b^{2} > 0 a^{2} - 2 ab + b^{2} + b^{2} > 0 (a - b)^{2} + b^{2} > 0$
Pokazujemy, że ta nierówność jest prawdziwa:
- $(a - b)^{2}$ jest dodatnie, bo z założenia $a - b \neq = 0$ , a kwadrat każdej liczby rzeczywistej różnej od zera jest dodatni,
- $b^{2}$ jest nieujemne,
- suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia.
To kończy dowód.

Podobne zadania z działu dowodzenie