Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R, takie, że (|AP|)/(|PB|)=(|CR|)/(|RD|)=3/2 (zobacz rysunek). Pole czworokąta APCR jest równe

Zadanie 22, matura podstawowa czerwiec 2020 (F. 2005)

1 pkt

Pole prostokąta

A B C D

jest równe

90

. Na bokach

A B

C D

wybrano – odpowiednio – punkty

P

R

, takie, że

\frac{∣ A P ∣}{∣ P B ∣} = \frac{∣ C R ∣}{∣ R D ∣} = \frac{3}{2}

(zobacz rysunek).

Pole czworokąta

A P C R

jest równe

Poprawna odpowiedź

54

Z proporcji $\frac{∣ A P ∣}{∣ P B ∣} = \frac{3}{2}$ wynika, że bok $A B$ składa się z $3 + 2 = 5$ równych części, a odcinek $A P$ to $3$ z nich:
$∣ A P ∣ = \frac{3}{5} ∣ A B ∣$
Boki $A P$ i $C R$ leżą na równoległych bokach prostokąta i mają równe długości, bo $∣ C R ∣ = \frac{3}{5} ∣ C D ∣ = ∣ A P ∣$ . Czworokąt $A P C R$ jest więc równoległobokiem o podstawie $A P$ i wysokości równej wysokości prostokąta $∣ A D ∣$ .
Liczymy pole równoległoboku:
$P_{A P C R} = ∣ A P ∣ \cdot ∣ A D ∣ = \frac{3}{5} ∣ A B ∣ \cdot ∣ A D ∣ = \frac{3}{5} \cdot 90 = 54$