Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 37

1 pkt

Para liczb

x = - 1

i

y = 6

jest rozwiązaniem układu równań

{a x + 3 y = 20 x + b y = 5

gdzie

a

oraz

b

są liczbami rzeczywistymi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia

a \cdot b

jest równa

A.

(- 2)

1
Podstawiamy $x = - 1$ oraz $y = 6$ do obu równań układu:
$a \cdot (- 1) + 3 \cdot 6 = 20 - 1 + b \cdot 6 = 5$

Zadanie 7 Równania

1 pkt

Równanie

\frac{x + 1}{( x + 2 ) ( x - 3 )} = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych

Zadanie 7 Planimetria

3 pkt

Dany jest czworokąt wypukły

A B C D

. Przekątne

A C

oraz

B D

tego czworokąta przecinają się w punkcie

S

.
Wykaż, że jeżeli

\frac{∣ A S ∣}{∣ D S ∣} = \frac{∣ B S ∣}{∣ C S ∣}

, to na czworokącie

A B C D

można opisać okrąg.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Ciągi

4 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa

105

. Liczby

x

,

y

oraz

z

są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oblicz

x, y

oraz

z

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Równania

3 pkt

Rozwiąż równanie

x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 10 = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Geometria analityczna

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są:
okrąg o równaniu

(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 50

i punkty

A = (6, 4)

oraz

B = (- 6, 8)

.
Punkt

C

leży na tym okręgu i

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

.

Oblicz współrzędne punktu

C

. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Statystyka

1 pkt

Uczniom klas ósmych zadano pytanie: „Z którego portalu internetowego korzystasz najczęściej?”. Każdy z uczniów wskazał jeden portal. Procentowy rozkład udzielonych odpowiedzi uczniów przedstawiono na diagramie poniżej. Portal

F

wskazało

72

uczniów.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Portal $Y$ wskazało $40$ uczniów.
Portal $I$ wskazało o $8$ uczniów mniej niż uczniów, którzy wskazali portal $S$ .

Zadanie 7 Planimetria

1 pkt

Kąty

α

,

β

,

γ

pewnego trójkąta spełniają dwa warunki:

α + β = 130°

i

α + γ = 120°

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Kąt $α$ ma miarę $70°$ .
Różnica miar między kątem największym a kątem najmniejszym w tym trójkącie jest równa $20°$ .

Zadanie 7 Ciągi

4 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

o numerach nieparzystych jest równa

16

, tj.

a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots = 16

Ponadto

a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2} \cdot a_{2}

.

Wyznacz wzór ogólny na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Trygonometria

4 pkt

W okrąg o promieniu

4

wpisano trójkąt

A B C

. Długość boku

A B

jest równa

6

. Bok

B C

ma długość

43

i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.

Oblicz długość boku

A C

trójkąta

A B C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Równania

3 pkt

Rozwiąż równanie

\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x}{2 x - 2}

Zapisz konieczne założenie i obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Równania

1 pkt

Jednym z rozwiązań równania

\frac{3 x \cdot ( 2 x + 8 )}{x - 2} = 0

jest liczba

Zadanie 8 Prawdopodobieństwo

1 pkt

Karolina kupiła jedno pudełko balonów. W tabeli podano informacje dotyczące kolorów balonów oraz ich liczby w tym pudełku.

	czerwony	niebieski	zielony	żółty
Liczba balonów	$10$	$8$	$6$	$8$

Karolina wyjmowała losowo po jednym balonie z pudełka. Pierwsze dwa wyjęte balony były w kolorze czerwonym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci balon losowo wyjęty przez Karolinę będzie w kolorze czerwonym? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 8 Planimetria

4 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta

A B C

jest dwa razy większa od miary kąta

B A C

.

Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Układy równań

1 pkt

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Zbiór zadań

Wyniki