Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Przenosimy wyraz z $x$ z prawej strony na lewą, dodając $x$ do obu stron:
   $$\begin{array}{rl}1-\frac{3}{2}x+x& <\frac{2}{3}\\ 1-\frac{1}{2}x& <\frac{2}{3}\end{array}$$
2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę:
   $$\begin{array}{rl}-\frac{1}{2}x& <\frac{2}{3}-1\\ -\frac{1}{2}x& <-\frac{1}{3}\end{array}$$
3. Dzielimy obie strony przez $-\frac{1}{2}$ (liczbę ujemną), zmieniając kierunek nierówności:
   $$x>\frac{2}{3}$$

1. Sumujemy cyfry liczby $27733$.
   $$2+7+7+3+3=22$$
2. Liczba $22$ nie jest podzielna przez $3$ (kryterium podzielności przez $3$: suma cyfr musi być podzielna przez $3$), więc liczba $27733$ też nie jest podzielna przez $3$. Odpowiedź: B, uzasadnienie 2.

1. Znak $\ge$ jest nieostry, więc liczba $-3$ też spełnia nierówność i na osi liczbowej zaznaczamy ją zamalowanym (domkniętym) kółkiem.
2. Nierówność obejmuje wszystkie liczby większe lub równe $-3$, czyli leżące na osi na prawo od $-3$, więc zamalowujemy odcinek osi w tę stronę.
3. Rysunek z zamalowanym kółkiem w punkcie $-3$ i zaznaczonym obszarem na prawo od niego to rysunek C.

1. Dzielenie ułamków zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
   $$\frac{x}{x^2-1}:\frac{3x^2}{x+1}=\frac{x}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{3x^2}$$
2. Rozkładamy mianownik $x^2-1$ na czynniki (wzór skróconego mnożenia):
   $$\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{3x^2}$$
3. Skracamy czynnik $(x+1)$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{x\cdot \bcancel{(x+1)}}{(x-1)\cdot \bcancel{(x+1)}\cdot 3x^2}=\frac{x}{3x^2(x-1)}$$
4. Zapisujemy $3x^2$ jako $3x\cdot x$ i skracamy $x$ w liczniku z jednym $x$ w mianowniku:
   $$\frac{\bcancel{x}}{3x\cdot \bcancel{x}\cdot (x-1)}=\frac{1}{3x(x-1)}$$
5. Mnożymy w mianowniku:
   $$\frac{1}{3x(x-1)}=\frac{1}{3x^2-3x}$$

1. Wyznaczamy dziedzinę — mianownik nie może być równy zero:
   $$2x+4\ne 0⟹x\ne -2$$
2. Licznik jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem:
   $$x=0\text{lub}x+5=0\text{lub}2-x=0$$
3. Rozwiązujemy te równania:
   $$x=0,x=-5,x=2$$
4. Wszystkie trzy rozwiązania należą do dziedziny (żadne nie jest równe $-2$), więc równanie ma dokładnie trzy rozwiązania: $-5$, $0$ oraz $2$.

1. Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180°$.
   $$\alpha +\beta +\gamma =180°$$
2. Z warunku $\alpha +\beta =130°$ obliczamy kąt $\gamma$.
   $$\gamma =180°-130°=50°$$
3. Z warunku $\alpha +\gamma =120°$ obliczamy kąt $\beta$.
   $$\beta =180°-120°=60°$$
4. Kąt $\alpha$ obliczamy, odejmując od $180°$ obliczone kąty $\beta$ i $\gamma$.
   $$\alpha =180°-\beta -\gamma =180°-60°-50°=70°$$
5. Kąt $\alpha$ rzeczywiście ma miarę $70°$ – pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
6. Kąty trójkąta to $\alpha =70°$, $\beta =60°$, $\gamma =50°$. Największy z nich to $70°$, a najmniejszy to $50°$.
   $$70°-50°=20°$$
7. Różnica wynosi $20°$ – drugie zdanie jest również prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.

1. Mnożymy pierwsze równanie stronami przez $-4$:
   $$\begin{array}{rl}& -4(x-2y)=-4\cdot 3\\ & -4x+8y=-12\end{array}$$
2. Otrzymane równanie jest identyczne z drugim równaniem układu — oba równania opisują tę samą prostą. Oznacza to, że każda para $(x,y)$ spełniająca $x-2y=3$ spełnia też drugie równanie, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

1. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Zapisujemy $9$ jako potęgę liczby $3$, a następnie mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki.
   $$3\cdot 9^5=3^1\cdot (3^2{)}^5=3^1\cdot 3^{10}=3^{11}$$
2. Otrzymany wynik jest równy $3^{11}$ z treści zdania, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
3. Sprawdzamy drugie zdanie. W liczniku mnożymy potęgi o tej samej podstawie, a potem dzielimy przez potęgę w mianowniku, odejmując wykładniki.
   $$\frac{2^8\cdot 2^7}{2^{10}}=\frac{2^{15}}{2^{10}}=2^5$$
4. Otrzymany wynik jest równy $2^5$ z treści zdania, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Podstawiamy $x=-1$ oraz $y=6$ do obu równań układu:
   $$\begin{array}{rl}& a\cdot (-1)+3\cdot 6=20\\ & -1+b\cdot 6=5\end{array}$$
2. Upraszczamy oba równania:
   $$\begin{array}{rl}& -a+18=20\\ & 6b=6\end{array}$$
3. Wyznaczamy $a$ i $b$:
   $$\begin{array}{rl}& a=-2\\ & b=1\end{array}$$
4. Obliczamy wartość wyrażenia $a\cdot b$:
   $$a\cdot b=(-2)\cdot 1=-2$$

1. Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik musi być różny od zera. Mianownik zeruje się dla $x=-2$ oraz $x=3$, więc dziedziną równania jest zbiór liczb $x\ne -2$ i $x\ne 3$.
2. Przyrównujemy licznik do zera:
   $$x+1=0⟹x=-1$$
3. Liczba $x=-1$ należy do dziedziny, więc jest jedynym rozwiązaniem równania.

1. Portal $\mathcal{F}$ wskazało $72$ uczniów, co stanowi $45\%$ wszystkich uczniów. Obliczamy więc liczbę wszystkich uczniów.
   $$\frac{72}{0,45}=160$$
2. Sprawdzamy pierwsze zdanie – obliczamy, ilu uczniów wskazało portal $\mathcal{Y}$ ($25\%$ wszystkich).
   $$160\cdot \frac{25}{100}=40$$
3. Otrzymana liczba ($40$) zgadza się z treścią zdania, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie – obliczamy liczbę uczniów, którzy wskazali portal $\mathcal{I}$ ($10\%$) i portal $\mathcal{S}$ ($15\%$).
   $$\begin{array}{rl}& 160\cdot \frac{10}{100}=16\\ & 160\cdot \frac{15}{100}=24\end{array}$$
5. Portal $\mathcal{I}$ wskazało rzeczywiście o $8$ uczniów mniej niż portal $\mathcal{S}$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.
   $$24-16=8$$