Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy łączną liczbę balonów w pudełku.
   $$10+8+6+8=32$$
2. Karolina wyjęła już dwa czerwone balony, więc w pudełku zostało $30$ balonów, w tym $10-2=8$ czerwonych.
3. Prawdopodobieństwo wyjęcia czerwonego balonu jako trzeciego to stosunek liczby pozostałych czerwonych balonów do liczby wszystkich pozostałych balonów.
   $$P=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$$

1. Mnożymy ułamki, zapisując wynik jako jeden ułamek:
   $$\frac{2x^2}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{x}=\frac{2x^2(x+1)}{(x^2-1)x}$$
2. Rozkładamy mianownik $x^2-1=(x-1)(x+1)$ i skracamy czynniki $(x+1)$ oraz $x$ (możemy to zrobić, bo $x\ne -1$ i $x\ne 0$):

1. Pierwsza prosta na rysunku przecina oś $y$ w punkcie $(0,2)$ i jest malejąca (opada od lewej do prawej), więc jej współczynnik kierunkowy jest ujemny — pasuje do niej wzór $y=-x+2$.
2. Druga prosta przecina oś $y$ w punkcie $(0,-3)$ i jest rosnąca, bardziej stroma niż pierwsza — pasuje do niej wzór $y=2x-3$.
3. Taki układ prostych opisuje układ równań z odpowiedzi B.

1. Średnia arytmetyczna trzech liczb $x$, $y$, $z$ jest równa $12$, więc ich suma jest równa:
   $$x+y+z=12\cdot 3=36$$
2. Ponieważ $x=6$, obliczamy sumę $y+z$.
   $$y+z=36-6=30$$
3. Średnia arytmetyczna liczb $y$ i $z$ jest równa:
   $$\frac{y+z}{2}=\frac{30}{2}=15$$
4. Odpowiedzią na pierwsze zdanie jest B ($15$). Obliczamy teraz średnią arytmetyczną czterech liczb $x,y,z,a$, korzystając z sumy $x+y+z=36$ oraz $a=4$.
   $$\frac{x+y+z+a}{4}=\frac{36+4}{4}=\frac{40}{4}=10$$
5. Odpowiedzią na drugie zdanie jest D ($10$). Odpowiedź: BD.

1. Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie – mnożymy wielomiany $F$ i $G$:
   $$F(x)\cdot G(x)=3x\left(x^2+2x+3\right)=3x^3+6x^2+9x=W(x)$$
2. Iloczyn $F(x)\cdot G(x)$ jest równy $W(x)$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Sprawdzamy drugie stwierdzenie – obliczamy wartość wielomianu $W$ dla $x=-1$:
   $$W(-1)=3\cdot (-1{)}^3+6\cdot (-1{)}^2+9\cdot (-1)=-3+6-9=-6$$
4. Ponieważ $W(-1)=-6\ne 0$, liczba $(-1)$ nie jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$ – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Wyrazy sumy $1+3+5+7+\dots +(2n+1)$ tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_1=1$ i różnicy $r=2$. Wyznaczamy liczbę wyrazów $k$ tej sumy z wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
   $$\begin{array}{rl}& a_k=a_1+(k-1)r\\ & 2n+1=1+(k-1)\cdot 2\\ & k=n+1\end{array}$$
2. Suma składa się więc z $(n+1)$ wyrazów. Stosujemy wzór na sumę $(n+1)$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
   $$1+3+5+\dots +(2n+1)=\frac{1+(2n+1)}{2}\cdot (n+1)=(n+1{)}^2$$
3. Zapisujemy symbol Newtona $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ w postaci ułamka:
   $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2}$$
4. Obliczamy granicę, dzieląc licznik i mianownik przez $n^2$:
   $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{(n+1{)}^2}{\frac{n(n-1)}{2}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+4n+2}{n^2-n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}}{1-\frac{1}{n}}=2$$

1. Wyrażenia $\frac{x+3}{x-1}$ oraz $\frac{x}{2x-2}$ mają sens liczbowy, gdy ich mianowniki są różne od zera. Zapisujemy założenie:
   $$x\ne 1$$
2. Mnożymy obie strony równania przez $2(x-1)$, gdzie $x\ne 1$:
   $$2(x+3)=x$$
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe:
   $$\begin{array}{rl}& 2x+6=x\\ & x=-6\end{array}$$
4. Liczba $-6$ spełnia założenie $x\ne 1$, więc rozwiązaniem równania jest $x=-6$.

1. Obliczamy masę rodzynek w opakowaniu:
   $$15\%\cdot 320\text{g}=48\text{g}$$
2. Masa orzechów jest większa od masy rodzynek o $80\text{g}-48\text{g}=32\text{g}$ (odpowiedź A).
3. Obliczamy masę całej mieszanki:
   $$320\text{g}+80\text{g}=400\text{g}$$
4. Obliczamy, jaki procent mieszanki stanowią orzechy:
   $$\frac{80}{400}=0,2=20\%$$
5. Mieszanka zawiera więc $20\%$ orzechów (odpowiedź C).

1. Zapisujemy nierówność w postaci ogólnej:
   $$x^2-6x-7\le 0$$
2. Obliczamy deltę $x^2-6x-7$:
   $$\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-7)=36+28=64$$
3. Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu:
   $$\begin{array}{rl}& x_1=\frac{6-\sqrt{64}}{2}=\frac{6-8}{2}=-1\\ & x_2=\frac{6+\sqrt{64}}{2}=\frac{6+8}{2}=7\end{array}$$
4. Ramiona paraboli $y=x^2-6x-7$ są skierowane w górę (współczynnik przy $x^2$ jest dodatni), więc funkcja przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi. Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności ze szkicu:
   
   

1. Bok $EF$ prostokąta $EBCF$ jest jednocześnie bokiem kwadratu $AEFD$ – oznaczmy jego długość przez $a$. Prostokąt $EBCF$ ma boki $EB=10$ cm oraz $BC=EF=a$.
   $$2\cdot (10+a)=36$$
2. Rozwiązujemy równanie i wyznaczamy $a$.
   $$\begin{array}{rl}& 10+a=18\\ & a=8\end{array}$$
3. Pole kwadratu $AEFD$ o boku $a=8$ cm jest równe:
   $$a^2=8^2=64{\text{cm}}^2$$

1. Obliczamy średnią liczby punktów zdobytych przez Antka w jednym meczu:
   $$84:6=14$$
2. Średnia jest równa $14$, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
3. Obliczamy łączną liczbę punktów po rozegraniu siódmego meczu, w którym Antek zdobędzie $21$ punktów, i dzielimy przez liczbę meczów:
   $$(84+21):7=105:7=15$$
4. Średnia rzeczywiście będzie równa $15$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Mnożymy każdy z nawiasów przez stojący przed nim czynnik.
   $$\begin{array}{rl}& x(x+4)=x^2+4x\\ & -3(2x-5)=-6x+15\end{array}$$
2. Dodajemy otrzymane wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne.
   $$x^2+4x-6x+15=x^2-2x+15$$