Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 80

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{7 ^{n}}{21}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $20$ .

PF

1
Sprawdzamy, czy ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny, obliczając jego iloraz:
$q = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{7 ^{n + 1}}{21} : \frac{7 ^{n}}{21} = \frac{7 ^{n + 1}}{7 ^{n}} = 7$

Zadanie 15 Funkcja liniowa

1 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dana jest prosta

k

o równaniu

y = 3 x + b

, przechodząca przez punkt

A = (- 1, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik

b

w równaniu tej prostej jest równy

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono trapez

K L M N

zbudowany z trzech jednakowych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości

3

cm i

4

cm.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2} + n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest malejący.
Ósmy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy $136$ .

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa

2

oraz

a_{8} = 48

. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 15Inne

1 pkt

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem

1200

guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

Zadanie 15 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia

2 - 2 a^{2}

dla

a = - 3

jest równa A/B.

Wyrażenie

\frac{1}{2} (2 - 2 a^{2})

można przekształcić do postaci C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, są dodatnie i

9 a_{5} = 4 a_{3}

. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

Zadanie 15.1 Dowody geometryczne

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Wykaż, że pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Dowody geometryczne

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym

18

. Wykaż, że pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

b

ramienia, wyraża się wzorem

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Funkcje

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

. Wyznacz dziedzinę funkcji

P

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Funkcje

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym

18

. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

b

ramienia, wyraża się wzorem

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

. Wyznacz dziedzinę funkcji

P

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym

18

. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

b

ramienia, wyraża się wzorem

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

dla

b \in (\frac{9}{2}, 9)

. Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

dla

x \in (0, 1)

. Oblicz długość odcinka

x

tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Procenty

2 pkt

Do wykonania naszyjnika Hania przygotowała

4

korale srebrne,

8

korali czerwonych i kilka korali zielonych. Następnie ze wszystkich przygotowanych korali zrobiła naszyjnik. Zielone korale stanowią

20%

wszystkich korali w zrobionym naszyjniku. Oblicz, ile zielonych korali jest w naszyjniku. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Pole trapezu $K L M N$ jest równe $18 cm^{2}$ .
Obwód trapezu $K L M N$ jest równy $18$ cm.

Zbiór zadań

Wyniki