Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Ciąg ma $6$ wyrazów uporządkowanych niemalejąco, więc mediana to średnia arytmetyczna $3.$ i $4.$ wyrazu:
   $$\text{Me}=\frac{2x+(x+2)}{2}=4$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2x+x+2=8\\ & 3x=6\\ & x=2\end{array}$$

1. Zapisujemy równanie na średnią arytmetyczną pięciu liczb.
   $$\frac{(5x+6)+(6x+7)+(7x+8)+(8x+9)+(9x+10)}{5}=8$$
2. Sumujemy wyrazy w liczniku i rozwiązujemy równanie.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{35x+40}{5}=8\\ & 35x+40=40\\ & 35x=0\\ & x=0\end{array}$$

1. Przenosimy $14$ na lewą stronę, aby otrzymać nierówność w postaci standardowej:
   $$x^2-5x-14\le 0$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $x^2-5x-14$:
   $$\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-14)=25+56=81$$
3. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
   $$x_1=\frac{5-9}{2}=-2,x_2=\frac{5+9}{2}=7$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy argumentów, dla których wartości funkcji są niedodatnie (wykres leży pod osią $Ox$ lub na niej) — to przedział między miejscami zerowymi, łącznie z ich końcami:
   
   
5. Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:
   $$x\in [-2,7]$$

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę, aby otrzymać nierówność kwadratową w postaci ogólnej:
   $$\begin{array}{rl}{x}^2-5& \ge 4x\\ x^2-4x-5& \ge 0\end{array}$$
2. Obliczamy deltę trójmianu kwadratowego $x^2-4x-5$, gdzie $a=1$, $b=-4$, $c=-5$:
   $$\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36$$
3. Pierwiastek z wyróżnika wynosi $\sqrt{36}=6$. Obliczamy miejsca zerowe trójmianu:
   $$x_1=\frac{4-6}{2}=-1,x_2=\frac{4+6}{2}=5$$
4. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, parabola ma ramiona skierowane w górę, więc szukamy zbioru $x$, dla których wykres funkcji leży nad osią $Ox$ lub na niej:
   
5. Zbiorem rozwiązań nierówności jest:
   $$x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨5,+\infty )$$

1. Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$. Z warunku $f(0)=2$ wynika, że wyraz wolny $b=2$.
2. Obliczamy współczynnik kierunkowy $a$, korzystając z warunku $f(4)-f(2)=6$:
   $$\begin{array}{rl}& f(4)-f(2)=(4a+b)-(2a+b)=2a\\ & 2a=6\\ & a=3\end{array}$$
3. Zapisujemy wzór funkcji:
   $$f(x)=3x+2$$

1. Równanie ma sens liczbowy, gdy mianownik jest różny od zera:
   $$3x-2\ne 0⟹x\ne \frac{2}{3}$$
2. Mnożymy obie strony równania przez $(3x-2)$:
   $$3x+2=(3x-2)(4-x)$$
3. Wymnażamy prawą stronę i porządkujemy wyrazy:
   $$\begin{array}{rl}& 3x+2=12x-3x^2-8+2x\\ & 3x^2-11x+10=0\end{array}$$
4. Obliczamy wyróżnik trójmianu $3x^2-11x+10$:
   $$\Delta =(-11{)}^2-4\cdot 3\cdot 10=121-120=1$$
5. Wyznaczamy pierwiastki:
   $$x_1=\frac{11-1}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3},x_2=\frac{11+1}{6}=2$$
6. Oba rozwiązania są różne od $\frac{2}{3}$, więc są rozwiązaniami danego równania wymiernego.

1. Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb $(a,b)$, gdzie $a,b\in \{1,2,3,4,5,6\}$. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=36$$
2. Wypisujemy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu $A$ (suma oczek równa $4$, $5$ lub $6$):
   $(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)$
   $$|A|=12$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb oczek $(a,b)$, gdzie $a,b\in \{1,2,3,4,5,6\}$. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
   $$|\Omega |=6^2=36$$
2. Wypisujemy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu $A$, czyli takie pary, w których iloczyn liczb oczek wynosi $12$:
   $$(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)$$
3. Zdarzeniu $A$ sprzyjają więc $4$ zdarzenia elementarne, czyli $|A|=4$. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{{\bcancel{4}}_1}{{\bcancel{36}}_9}=\frac{1}{9}$$