Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. W trójkącie prostokątnym $BDC$ (kąt prosty przy $D$) z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy wysokość $CD$:
   $$C{D}^2=B{C}^2-B{D}^2=13^2-12^2=169-144=25⟹CD=5$$
2. W trójkącie prostokątnym $ADC$ (kąt prosty przy $D$) stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla boku $AC$:
   $$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2=3^2+5^2=9+25=34$$
3. Stąd:
   $$AC=\sqrt{34}$$

1. Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty liczymy ze wzoru:
   $$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
2. Podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$:
   $$a=\frac{1-(-2)}{3-1}=\frac{3}{2}$$

1. Kąty $DAB$ i $ADC$ leżą przy tym samym boku równoległoboku, więc sumują się do $180°$:
   $$\angle ADC=180°-\alpha =180°-70°=110°$$
2. Wysokości poprowadzone z wierzchołka $B$ do boków $AD$ i $DC$ wraz z tymi bokami tworzą czworokąt, w którym dwa kąty przy stopach wysokości są proste, a trzeci to kąt $ADC$. Suma kątów czworokąta jest równa $360°$:
   $$\beta =360°-90°-90°-110°=70°$$

1. Współczynnik kierunkowy prostej $k$ to $a=-\frac{4}{7}$.
2. Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające $a\cdot a_1=-1$, czyli $a_1=-\frac{1}{a}$. Podstawiamy $a$:
   $$a_1=-\frac{1}{-\frac{4}{7}}=\frac{7}{4}$$

1. Zapisujemy równanie: liczba przekątnych jest o $25$ większa od liczby boków $n$:
   $$\frac{n(n-3)}{2}=n+25$$
2. Mnożymy obie strony przez $2$ i porządkujemy:
   $$\begin{array}{rl}& n(n-3)=2n+50\\ & n^2-3n-2n-50=0\\ & n^2-5n-50=0\end{array}$$
3. Rozwiązujemy równanie kwadratowe ($\Delta =25+200=225$, $\sqrt{\Delta }=15$):
   $$n_1=\frac{5-15}{2}=-5,n_2=\frac{5+15}{2}=10$$
4. Liczba boków wielokąta musi być dodatnia, więc odrzucamy $n_1=-5$. Zostaje $n=10$ — dziesięciokąt.

1. Środek okręgu opisanego na kwadracie to środek przekątnej, a promień to połowa jej długości. Najpierw liczymy $|AC|$ ze wzoru na odległość punktów.
   $$|AC|=\sqrt{{\left(3-(-4)\right)}^2+(7-6{)}^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$
2. Promień okręgu to połowa przekątnej.
   $$r=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

1. Pole figury $F_1$ to suma pól dwóch kół o promieniach $1$ i $3$:
   $$\pi \cdot 1^2+\pi \cdot 3^2=\pi +9\pi =10\pi$$
2. Pole figury $F_2$ to suma pól dwóch kół o promieniu $r$:
   $$\pi r^2+\pi r^2=2\pi r^2$$
3. Pola obu figur są równe, więc:
   $$\begin{array}{rl}& 2\pi r^2=10\pi \\ & r^2=5\\ & r=\sqrt{5}\end{array}$$

1. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa to suma pól dwóch podstaw (sześciokątów foremnych) i pola powierzchni bocznej.
2. Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ liczymy wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$. Dla $a=2$ jedna podstawa ma pole:
   $$P=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 2^2=6\sqrt{3}$$
3. Dwie podstawy dają więc $12\sqrt{3}$. Pole powierzchni bocznej to obwód podstawy razy wysokość graniastosłupa (równa krawędzi bocznej, czyli $2$). Obwód sześciokąta to $6\cdot 2=12$.
   $$P_b=12\cdot 2=24$$
4. Sumujemy pola dwóch podstaw i powierzchni bocznej.
   $$P_c=24+12\sqrt{3}$$

1. Punkt $M$ jest środkiem przekątnej $AC$, więc odcinek $AM$ to połowa przekątnej kwadratu. Obliczamy jego długość:
   $$|AM|=\sqrt{(3-1{)}^2+(-5-3{)}^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$$
2. Cała przekątna kwadratu ma długość:
   $$d=2|AM|=4\sqrt{17}$$
3. Pole kwadratu o przekątnej $d$ liczymy ze wzoru $P=\frac{d^2}{2}$:
   $$P=\frac{{\left(4\sqrt{17}\right)}^2}{2}=\frac{16\cdot 17}{2}=\frac{272}{2}=136$$

1. Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem $d=a\sqrt{3}$. Wyznaczamy krawędź.
   $$\begin{array}{rl}& a\sqrt{3}=6\\ & a=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\end{array}$$
2. Objętość sześcianu to $V=a^3$.
   $$V=(2\sqrt{3}{)}^3=8\cdot 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}$$

1. Liczba pięciocyfrowa ma postać $\overline{abcde}$. Pierwsza cyfra $a$ nie może być zerem, więc wybieramy ją na $9$ sposobów.
2. Środkowe cyfry $b,c,d$ mogą być dowolne (od $0$ do $9$), każdą wybieramy na $10$ sposobów, razem $10^3$.
3. Aby liczba była parzysta, ostatnia cyfra $e$ musi być parzysta: $0,2,4,6,8$ — to $5$ możliwości.
4. Mnożymy liczby możliwości dla poszczególnych cyfr.
   $$9\cdot 10^3\cdot 5=9\cdot 5\cdot 10^3$$

1. Sześcian ma $8$ wierzchołków. Liczba sposobów wyboru dwóch z nich (liczba zdarzeń elementarnych):
   $$|\Omega |=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=\frac{8\cdot 7}{2}=28$$
2. Przekątna sześcianu łączy wierzchołek z wierzchołkiem do niego przeciwległym. Każdy z $8$ wierzchołków ma dokładnie jeden taki wierzchołek przeciwległy, więc liczba przekątnych sześcianu wynosi:
   $$|A|=\frac{8}{2}=4$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo:
   $$P(A)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$$

1. Stosunek kul białych do czerwonych wynosi $3:4$, więc na $3+4=7$ kul przypadają $3$ białe.
2. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej to stosunek liczby kul białych do wszystkich kul.
   $$P(A)=\frac{3}{7}$$