Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Miejsce zerowe to argument, dla którego wykres funkcji przecina oś $x$ (wartość funkcji wynosi $0$). Odczytujemy z wykresu punkty przecięcia z osią $x$:
   $$x=-3,5x=-2x=3$$
2. Wykres przecina oś $x$ w trzech punktach, więc funkcja $f$ ma dokładnie trzy miejsca zerowe.

1. Odcinek $KM$ jest podzielony na $10$ równych części, więc kolejne punkty podziału różnią się o stałą wartość $d$. Z rysunku odczytujemy, że współrzędna $6$ leży $3$ działki od punktu $K$, a współrzędna $21$ leży $8$ działek od punktu $K$ (czyli $5$ działek dalej niż $6$):
   $$21-6=5d⟹d=3$$
2. Punkt $K$ leży $3$ działki przed współrzędną $6$, więc:
   $$K=6-3d=6-9=-3$$
3. Punkt $L$ leży $1$ działkę za współrzędną $6$ (czyli $4$ działki od $K$), a punkt $M$ kończy podział (czyli leży $10$ działek od $K$):
   $$L=K+4d=-3+12=9,M=K+10d=-3+30=27$$
4. Obliczamy wszystkie cztery sumy:
   $$\begin{array}{rl}& K+L+M=-3+9+27=33\\ & K+L=-3+9=6\\ & K+M=-3+27=24\\ & L+M=9+27=36\end{array}$$
5. Jedynie $36$ jest podzielne przez $9$ (bo $36:9=4$), więc poprawną odpowiedzią jest suma $L+M$.

1. Podstawiamy $n=100$ do wzoru na sumę:
   $$S=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 101=5050$$
2. To odpowiada literze B. Teraz przekształcamy wzór, mnożąc wyrażenie w nawiasie przez $\frac{1}{2}n$:
   $$S=\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$$
3. To odpowiada literze D. Prawidłowe odpowiedzi to B oraz D.

1. Z wykresu odczytujemy przebieg funkcji $f$: rosnący odcinek łączy punkty domknięte $(-4,-2)$ i $(2,4)$, a opadający odcinek łączy punkty otwarte $(2,3)$ i $(5,0)$.
2. Sprawdzamy odpowiedź A. Na rosnącym odcinku funkcja przyjmuje wartość $3$ dla:
   $$x=1$$
3. Na opadającym odcinku wartość $3$ nigdy nie jest osiągana, bo punkt początkowy $(2,3)$ jest otwarty. Jedynym rozwiązaniem równania $f(x)=3$ jest więc $x=1$ — zdanie A jest prawdziwe.
4. Odpowiedź B jest fałszywa: w przedziale $⟨2,3⟩$ funkcja maleje od wartości bliskiej $3$ (nieosiągniętej) do $f(3)=2$, więc jej największa wartość w tym przedziale nie jest równa $3$.
5. Odpowiedź C jest fałszywa: w przedziale $⟨0,3⟩$ funkcja najpierw rośnie (od $f(0)=2$ do $f(2)=4$), a dopiero potem maleje, więc nie jest malejąca na całym przedziale.
6. Odpowiedź D jest fałszywa: jedynym miejscem zerowym funkcji jest $x=-2$. Drugie przecięcie z osią $Ox$ wypadałoby dla $x=5$, ale ten punkt jest otwarty i nie należy do wykresu funkcji.

1. Kwiecień ma $30$ dni, więc wszystkich możliwych wyników losowania jest $30$.
2. Wtorki w tym kalendarzu wypadają $2$, $9$, $16$, $23$ i $30$ dnia miesiąca, czyli jest ich $5$. Obliczamy prawdopodobieństwo:
   $$P=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$$
3. To odpowiada literze B.
4. Aby prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez pewną liczbę było równe $\frac{2}{15}$, liczba dni spełniających warunek musi wynosić:
   $$\frac{2}{15}\cdot 30=4$$
5. Wśród liczb od $1$ do $30$ dokładnie $4$ liczby są podzielne przez $7$: $7,14,21,28$. Zatem szukaną liczbą jest $7$, co odpowiada literze D.

1. Największa wartość funkcji to najwyższy punkt na wykresie. Odczytujemy z wykresu, że jest to punkt $(2,3)$.
2. Funkcja $f$ osiąga największą wartość, równą $3$, dla argumentu $x=2$.

1. Wymnażamy nawiasy po lewej stronie i przenosimy wszystko na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}{x}^2+2x-15& >9\\ x^2+2x-24& >0\end{array}$$
2. Obliczamy deltę:
   $$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot (-24)=100$$
3. Obliczamy miejsca zerowe:
   $$x_1=\frac{-2-\sqrt{100}}{2}=-6,x_2=\frac{-2+\sqrt{100}}{2}=4$$
4. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, parabola ma ramiona skierowane w górę. Szukamy zbioru $x$, dla których wykres jest nad osią $Ox$, czyli na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi:
   
   $$x\in (-\infty ,-6)\cup (4,+\infty )$$

1. Wynik mnożenia jest równy $0$ gdy jeden z czynników jest równy $0$. Przyrównajmy do zera każdy z czynników tego równania:
   $$\begin{array}{rl}& x+3=0\\ & x=-3\end{array}\begin{array}{rl}& x-m=0\\ & x=m\end{array}\begin{array}{rl}& 2x+4=0\\ & 2x=-4\\ & x=-2\end{array}$$
2. Z treści zadania wiemy że suma rozwiązań jest równa $0$:
   $$-3+m+(-2)=0$$
3. Stąd:
   $$m=5$$

1. Wszystkich drzew jest łącznie $198$, więc suma liczby drzew iglastych i liściastych daje:
   $$x+y=198$$
2. Gdyby drzew iglastych było o $18$ więcej (czyli $x+18$), to drzew liściastych byłoby $3$ razy więcej niż iglastych. Liczba $y$ nie zmienia się, więc:
   $$y=3(x+18)$$
3. Otrzymany układ równań odpowiada odpowiedzi D.

1. Obliczamy wyrażenie I, zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:
   $$2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}⟹1-\frac{8}{3}\cdot 3=1-8=-7$$
2. Wartość wyrażenia I to liczba całkowita $-7$.
3. Obliczamy wyrażenie II:
   $$3,4-2\frac{1}{4}=3,4-2,25=1,15$$
4. Wartość wyrażenia II nie jest liczbą całkowitą.
5. Obliczamy wyrażenie III:
   $$3\frac{3}{4}-4,25=3,75-4,25=-0,5$$
6. Wartość wyrażenia III nie jest liczbą całkowitą.
7. Obliczamy wyrażenie IV:
   $$6:1,2=5$$
8. Wartość wyrażenia IV to liczba całkowita $5$. Liczbami całkowitymi są więc wartości wyrażeń I oraz IV.