Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Ze średniej arytmetycznej liczb $x$ i $y$ wyznaczamy ich sumę:
   $$\frac{x+y}{2}=4⟹x+y=8$$
2. Ze średniej arytmetycznej liczb $x$, $y$, $z$ wyznaczamy sumę wszystkich trzech:
   $$\frac{x+y+z}{3}=5⟹x+y+z=15$$
3. Podstawiamy $x+y=8$ i obliczamy $z$:
   $$z=15-(x+y)=15-8=7$$

1. Wszystkich drzew jest łącznie $198$, więc suma liczby drzew iglastych i liściastych daje:
   $$x+y=198$$
2. Gdyby drzew iglastych było o $18$ więcej (czyli $x+18$), to drzew liściastych byłoby $3$ razy więcej niż iglastych. Liczba $y$ nie zmienia się, więc:
   $$y=3(x+18)$$
3. Otrzymany układ równań odpowiada odpowiedzi D.

1. Policzmy rozwiązania tego układu równań. Dzielimy pierwsze równanie przez $20$, a drugie przez $26$, otrzymując prostszy układ:
   $$\{\begin{array}{l}x+y=\frac{1}{20}\\ x-y=\frac{1}{26}\end{array}$$
2. Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć $x_0$:
   $$\begin{array}{rl}& x+y=\frac{1}{20}\\ +& x-y=\frac{1}{26}\\ & \\ & 2x=\frac{1}{20}+\frac{1}{26}\\ & 2x=\frac{13+10}{260}\\ & 2x=\frac{23}{260}\\ & x_0=\frac{23}{520}\end{array}$$
3. Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć $y_0$:
   $$\begin{array}{rl}& x+y=\frac{1}{20}\\ -& x-y=\frac{1}{26}\\ & \\ & 2y=\frac{1}{20}-\frac{1}{26}\\ & 2y=\frac{13-10}{260}\\ & 2y=\frac{3}{260}\\ & y_0=\frac{3}{520}\end{array}$$
4. Obie liczby $x_0$ oraz $y_0$ są dodatnie, więc ich suma i iloczyn również są liczbami dodatnimi: obydwa stwierdzenia są prawdziwe (P, P).

1. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, a kąt między jego ramionami (przy wierzchołku $C$) jest równy $80°$. Oba kąty przy podstawie $AB$ są więc równe:
   $$\angle CAB=\angle CBA=\frac{180°-80°}{2}=50°$$
2. Trójkąt $ABD$ jest równoramienny, a kąt między jego ramionami (przy wierzchołku $B$) jest równy $40°$. Oba kąty przy podstawie $AD$ są więc równe:
   $$\angle DAB=\angle ADB=\frac{180°-40°}{2}=70°$$
3. Odcinek $AC$ leży wewnątrz kąta $DAB$, więc kąt $DAC$ to różnica kątów $DAB$ i $CAB$:
   $$\angle DAC=\angle DAB-\angle CAB=70°-50°=20°$$
4. W trójkącie $ASB$ kąt przy wierzchołku $A$ to $\angle CAB=50°$ (bo $S$ leży na odcinku $AC$), a kąt przy wierzchołku $B$ to $\angle DBA=40°$ (bo $S$ leży na odcinku $BD$). Z sumy kątów w trójkącie obliczamy kąt $ASB$:
5. Kąt $90°$ jest kątem prostym, więc kąt $ASB$ jest prosty, a miara kąta $DAC$ jest równa $20°$.

1. Obliczamy wyrażenie I, zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:
   $$2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}⟹1-\frac{8}{3}\cdot 3=1-8=-7$$
2. Wartość wyrażenia I to liczba całkowita $-7$.
3. Obliczamy wyrażenie II:
   $$3,4-2\frac{1}{4}=3,4-2,25=1,15$$
4. Wartość wyrażenia II nie jest liczbą całkowitą.
5. Obliczamy wyrażenie III:
   $$3\frac{3}{4}-4,25=3,75-4,25=-0,5$$
6. Wartość wyrażenia III nie jest liczbą całkowitą.
7. Obliczamy wyrażenie IV:
   $$6:1,2=5$$
8. Wartość wyrażenia IV to liczba całkowita $5$. Liczbami całkowitymi są więc wartości wyrażeń I oraz IV.

1. Obliczamy czas trwania wycieczki: od $11:40$ do $13:00$ minęła $1$ godzina i $20$ minut. Zamieniamy to na godziny:
   $$1\text{h}20\text{min}=1\frac{20}{60}\text{h}=\frac{4}{3}\text{h}$$
2. Prędkość obliczamy, dzieląc drogę przez czas:
   $$v=\frac{s}{t}=\frac{28}{\frac{4}{3}}=28\cdot \frac{3}{4}=21$$
3. Prędkość Ali była równa $21\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

1. Współczynnik kierunkowy funkcji $f(x)=3x-4$ jest równy $3$, czyli jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca (P).
2. Wykres funkcji przecina oś $Oy$ w punkcie o odciętej $x=0$:
   $$f(0)=3\cdot 0-4=-4$$
3. Zatem wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-4)$, a nie $(0,4)$ — stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ dana jest wzorem $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Podstawiamy $a=2$:
   $$h=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$
2. Zgadza się to z pierwszym zdaniem, więc jest ono prawdziwe (P).
3. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ dane jest wzorem $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $a=2$:
4. Zgadza się to z drugim zdaniem, więc jest ono prawdziwe (P).

1. Rosnący odcinek wykresu łączy punkty $(-4,-2)$ i $(2,4)$, więc jego współczynnik kierunkowy wynosi:
   $$a=\frac{4-(-2)}{2-(-4)}=\frac{6}{6}=1$$
2. Wzór tej części funkcji to $f(x)=x+2$ dla $x\in ⟨-4,2⟩$. Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy:
   $$\begin{array}{rl}& x+2<0\\ & x<-2\end{array}$$
3. Łącząc ten warunek z dziedziną odcinka $⟨-4,2⟩$, otrzymujemy $x\in ⟨-4,-2)$.
4. Opadający odcinek wykresu łączy punkty otwarte $(2,3)$ i $(5,0)$, więc na całym przedziale $(2,5)$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie (od wartości bliskiej $3$ do wartości bliskiej $0$, nigdy nie osiągając zera). Zatem zbiorem argumentów, dla których $f$ jest ujemna, jest:
   $$⟨-4,-2)$$